Теорема Гаусса.

Потоком вектора напряженности через замкнутый контур площадью S называется произведение проекции вектора напряженности на нормаль к контуру на площадь контура: .

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную: .

Напряженность поля точечного заряда.

Для определения напряженности проведем сферическую поверхность S радиусом r с центром совпадающим с зарядом и воспользуемся теоремой Гаусса. Так как внутри указанной области находится только один заряд q, то согласно указанной теореме получим равенство: (1), где E n - нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферической поверхности, поэтому E=E n =const. Поэтому ее можно вынести за знак суммы. Тогда равенство (1) примет вид , что и было получено из закона Кулона и определения напряженности электрического поля.

Электрическое поле заряженной сферы

Если сфера проводящая, то весь заряд находится на поверхности. Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

. Т. к. площадь сферы не равна нулю, то Е 1 =0 (во всех точках области I) – внутри проводника зарядов нет и напряженность поля равна нулю.

В области II R£r 2 проведем сферическую поверхность S 2 радиусом r 2 и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне сферы рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

Электрическое поле заряженного шара

Заряд равномерно распределен по всему объему шара, поэтому введем понятие объемной плотности заряда: . Рассмотрим две области I – внутри сферы радиуса R с зарядом q и вне сферы область II.

Для определения напряженности в области I проведем сферическую поверхность S 1 радиусом r 1 (0 - напряженность поля внутри шара увеличивается прямо пропорционально расстоянию до центра шара.

В области II R £ r 2 проведем сферическую поверхность S 2 радиусом r 2 и воспользуемся теоремой Гаусса:

(2), Þ - напряженность поля вне шара рассчитывается по той же формуле, что и напряженность поля точечного заряда.

Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам решать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как если бы все вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы. Мы доказали ее в вып. 1, гл. 13, взяв интеграл для потенциала и вычислив силу тяготения по градиенту. Теперь эту теорему мы можем доказать очень просто. Но на этот раз мы докажем не совсем ее, а сходную теорему для однородно заряженного электричеством шара. (Поскольку законы электростатики и тяготения совпадают, то то же доказательство может быть проведено и для поля тяготения.)

Зададим вопрос: каково электрическое поле в точке где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом? Так как здесь нет «выделенного» направления, то законно допустить, что всюду направлено прямо от центра сферы. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность, концентрическую со сферой зарядов и проходящую через точку (фиг. 4.11). Для этой сферы поток наружу равен

Фигура 4.11. Применение закона Гаусса для определения поля однородно заряженного шара.

1 - распределение заряда ; 2 - гауссова поверхность .

Закон Гаусса утверждает, что этот поток равен суммарному заряду сферы (деленному на ):

а это как раз та формула, которая получилась бы для точечного заряда . Мы решили проблему Ньютона проще, без интеграла. Конечно, это кажущаяся простота; вам пришлось затратить какое-то время на то, чтобы разобраться в законе Гаусса, и вы можете думать, что на самом деле время нисколько не сэкономлено. Но когда вам придется часто применять эту теорему, то она практически окупится. Все дело в привычке.

9.7. Поле равномерно заряженной сферы

Рассмотрим теперь с помощью теоремы Гаусса, поле, создаваемое равномерно заряженной тонкой сферической оболочки. Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление - радиальное, от центра сферы к точке наблюдения. Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис. 171).

Пусть радиус сферы r больше радиуса оболочки. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы \(~\Phi_E = E \cdot 4 \pi r^2\) . По теореме Гаусса это поток равен заряду сферы, деленному на электрическую постоянную \(~\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}\) . Из равенства этих выражений получаем зависимость напряженности поля от расстояния

\(~E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\) . (1)

Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы. Таким образом, результат, на доказательство которого И. Ньютон затратил несколько лет, получен нами почти автоматически. Подчеркнем, что для доказательства формулы (1) помимо теоремы К. Гаусса, потребовалось рассмотреть симметрию поля.

Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис. 172) также выражается формулой \(~\Phi_E = E \cdot 4 \pi r^2\) .

Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы К. Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.

«Физика - 10 класс»

Что показывают силовые линии?
Для чего они используются?

Напряжённость поля точечного заряда.

Найдём напряжённость электрического поля, создаваемого точечным зарядом q 0 . По закону Кулона этот заряд будет действовать на положительный заряд q с силой

Модуль напряжённости поля точечного заряда q 0 на расстоянии г от него равен:

Вектор напряжённости в любой точке электрического поля направлен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд (рис. 14.14), и совпадает с силой, действующей на точечный положительный заряд, помещённый в данную точку.

Силовые линии электрического поля точечного заряда как следует из соображений симметрии, направлены вдоль радиальных линий (рис. 14.15, а).

Поле заряженного шара.

Рассмотрим теперь вопрос об электрическом поле заряженного проводящего шара радиусом R. Заряд q равномерно распределён по поверхности шара. Силовые линии электрического поля, также из соображений симметрии, направлены вдоль продолжений радиусов шара (рис. 14.15, б).

Распределение в пространстве силовых линий электрического поля шара с зарядом q на расстояниях r ≥ R от центра шара аналогично распределению силовых линий поля точечного заряда q (см. рис. 14.15, а). Следовательно, на расстоянии r ≥ R от центра шара напряжённость поля определяется той же формулой (14.9), что и напряжённость поля точечного заряда, помещённого в центре сферы:

Внутри проводящего шара (r < R) напряженность поля равна нулю.

Принцип суперпозиции полей.

Если на тело действует несколько сил, то согласно законам механики результирующая сила равна геометрической сумме этих сил:

1 + 2 + ... .

На электрические заряды действуют силы со стороны электрического поля. Если при наложении полей от нескольких зарядов эти поля не оказывают никакого влияния друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Опыт показывает, что именно так и происходит на самом деле. Это означает, что напряжённости полей складываются геометрически.

В этом состоит принцип суперпозиции полей

Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают электрические поля, напряжённости которых 1 , 2 , 3 и т. д., то результирующая напряжённость поля в этой точке равна сумме напряжённостей этих полей:

= 1 + 2 + 3 + ... . (14.11)

Напряжённость поля, создаваемого отдельным зарядом, определяется так, как будто других зарядов, создающих поле, не существует.

Согласно принципу суперпозиции полей для нахождения напряжённости поля системы заряженных частиц в любой точке достаточно знать выражение (14.9) для напряжённости поля точечного заряда.

Для определения направления векторов напряжённостей полей отдельных зарядов мысленно помещаем в выбранную точку положительный заряд.

На рисунке 14.16 показано, как определяется напряжённость поля в точке А, созданного двумя точечными зарядами q 1 и q 2 .

Источник: «Физика - 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Электростатика - Физика, учебник для 10 класса - Класс!ная физика

Что такое электродинамика ---

КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯЖЕННЫЕ СФЕРЫ

Читатель :Внутри сплошного проводника есть полость произвольной формы (рис. 12.1). Проводнику сообщили некоторый заряд Q. Как распределится заряд по проводнику?

Предположим, что некоторый заряд q находится на внутренней поверхности проводника. Рассмотрим мысленно замкнутую поверхность S , внутри которой окажется заряд q (рис. 12.2). Тогда поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен

.

Но поскольку в любой точке нашей поверхности, то Ф = 0, а тогда и q = 0. Значит, на внутренней поверхности полости заряда нет, и остается единственная возможность: весь заряд находится на наружной поверхности проводника.

Читатель : Раз мы доказали, что заряда на внутренней поверхности полости нет, то и никакого поля внутри полости быть не может.

Автор : Не обязательно. Например, две плоские пластины с зарядами +q и –q в сумме имеют нулевой заряд, но между ними существует электрическое поле (рис. 12.3). Поэтому если на внутренней поверхности полости есть положительные и отрицательные заряды (пусть при этом q + + q – = 0!), то электрическое поле внутри полости вполне может существовать.

Читатель : Действительно.

Предположим, что на поверхности полости есть заряды +q и –q и между ними существует электрическое поле (рис. 12.4). Возьмем замкнутую линию L , такую, что внутри полости эта линия совпадает с силовой линией электрического поля, а остальная часть линии проходит через проводник.

Мысленно переместим заряд +q вдоль этой линии по замкнутому контуру. Тогда работа поля на участке внутри полости будет явно положительная, так как сила там будет в любом месте сонаправлена с перемещением (мы выбрали именно такую траекторию движения заряда). А на том участке, где линия проходит через проводник, работа равна нулю, так как внутри проводника .

Таким образом, общая работа по перемещению заряда вдоль нашего замкнутого контура, совершенная силами электростатического поля, положительна ! Но мы знаем, что на самом деле эта работа должна равняться нулю: иначе у нас получился бы вечный двигатель. Мы пришли к противоречию, значит, внутри полости поля нет!

Заметим, что из наших рассуждений следует важный практический вывод: внутри металлического ящика электрического поля быть не может, а значит, в металлическом ящике можно спрятаться от сильных внешних полей!

СТОП! Решите самостоятельно: А4–А7, В13.

Читатель : Так как заряд на внутренней поверхности сферы отсутствует, то шар зарядиться не может.

Читатель : . Если r ® ¥, то j = 0.

Читатель : Потенциалу на поверхности: , где R – радиус сферы, а Q – ее заряд.

Читатель : Вы хотите сказать, что шар зарядится? Но откуда же возьмутся заряды, если на внутренней поверхности сферы их нет?!

Читатель : Мы уже выяснили, что на внутренней поверхности полости проводника никаких зарядов быть не может. Наш шар вместе с проволочкой, соединяющей его со сферой, представляет собой как бы часть внутренней поверхности полости сферы. А значит, заряд с шарика должен целиком перейти на наружную поверхность сферы, независимо от того, заряжена она или нет!

СТОП! Решите самостоятельно: А9.

Задача 12.1 . Внутри незаряженной металлической сферы с внешним радиусом R находится точечный заряд q . Как распределится индуцированный заряд по внешней и внутренней поверхности сферы? Рассмотреть случаи, когда: а) заряд находится в центре сферы (рис. 12.8,а ); б) заряд смещен от центра (рис. 12.8,б ).

Решение .

Случай а . Прежде всего заметим, что сейчас на внутренней поверхности сферы должен появиться заряд, индуцированный (наведенный) точечным зарядом q , так как заряд q притягивает к себе заряды противоположного знака, а по металлу заряды могут перемещаться свободно.

Обозначим величину заряда на внутренней поверхности сферы х , а на внешней – у . Рассмотрим поверхность S , целиком лежащую в металле (рис. 12.9). Согласно теореме Гаусса поток через эту поверхность будет равен

,

так как в металле. Тогда . Поскольку в целом сфера не заряжена, то

х + у = 0 Þ у = –х = –(–q ) = +q .

Итак, x = –q ; у = +q . Ясно, что из соображения симметрии и по внешней, и по внутренней поверхностям заряд распределен равномерно.

Случай б . Если заряд будет смещен от центра, то величина индуцированных зарядов х и у от этого не изменится. Но очевидно, что чем ближе заряд q будет к внутренней поверхности сферы, тем сильнее он будет притягивать к себе свободные заряды, а значит, тем выше будет их поверхностная плотность . То есть заряд на внутренней поверхности сферы будет распределен неравномерно (рис. 12.10).

Читатель : Наверное, примерно такая же картина будет и на наружной поверхности сферы (рис. 12.11)?

Читатель : Честно говоря, не понятно.

Рис. 12.11 Рис. 12.12

Автор : А давайте предположим, что распределение зарядов на наружной поверхности действительно неравномерное, как на рис. 12.11. Тогда ясно, что поле, созданное этими зарядами, будет больше там, где больше плотность зарядов, и меньше там, где эта плотность меньше (рис. 12.13).

Возьмем контур ABCD и мысленно переместим по нему заряд +q . На участке АВ работа поля будет положительной, а на участке CD – отрицательной, причем так как Е В >Е С , то |A AB | > |A CD |.

На участках ВС и BD работа, очевидно, равна 0. Значит, общая работа на всем пути положительна! А этого быть не может. Следовательно, наше предположение о том, что заряд на наружной поверхности распределен неравномерно, ошибочно. То есть правильная картина распределения заряда показана на рис. 12.12.

СТОП! Решите самостоятельно: А8, В21, С5, С7, С15.

Задача 12.2. Два заряженных шара соединили длинным тонким проводником (рис. 12.14). Первый шар имеет заряд q и радиус r , второй – заряд Q и радиус R . Найти: 1) потенциалы шаров j 1 и j 2 до соединения и и после соединения; 2) заряды шаров и после соединения; 3) поверхностные плотности зарядов σ 1 и σ 2 до соединения и и после соединения; 4) энергию системы W до соединения и W ¢ после соединения; 5) количество выделившейся теплоты Q т.

Q , R , q , r	Рис. 12.14 Решение. До соединения : 1) ; ; 2) ; (площадь поверхности шара радиуса rS = 4πr 2); 3) W = W 1 + W 2 = (энергия сферы радиуса r и заряда q равна ).
j 1 , j 2 = ? , = ? , = ? σ 1 , σ 2 , = ? , = ? W , W ¢ = ? Q т = ?

После соединения потенциалы шаров стали равны, так как поверхность единого проводника всегда эквипотенциальная:

Общая сумма зарядов при этом не изменилась: q + Q = q ¢ + Q ¢. Мы получили систему с двумя неизвестными q ¢ и Q ¢:

Выразим из (1) Q ¢:

.

СТОП! Решите самостоятельно: В1, В2, В5, В7.

Вычислим поверхностные плотности зарядов после соединения:

;

.

Заметим, что если r ® 0, то , т.е. при уменьшении размеров маленького шарика плотность зарядов на нем будет неограниченно возрастать. Вот почему наибольшая плотность зарядов наблюдается на остриях металлических предметов.

СТОП! Решите самостоятельно: В9, В15.

Энергия шаров после соединения равна

Количество выделившегося тепла равно убыли энергии электрического поля:

.

Проведя несложные алгебраические преобразования, нетрудно получить

.

Читатель :Из этой формулы следует, что если qR ¹ Qr , то Q т > 0, если же qR = Qr , то Q т = 0. Почему?

СТОП! Решите самостоятельно: В23, С3.

Задача 12.3. Даны две концентрические металлические сферы радиусами R 1 и R 2 и зарядами q 1 и q 2 соответственно. Определить потенциалы: а) в центре сфер; б) на поверхности второй сферы; в) на расстоянии r > R 2 от центра.

Потенциал общего поля этих сфер является алгебраической суммой потенциалов каждого из полей, созданных сферами.