ВАРИАНТ 1
1.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
2.В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
3.В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 34 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
6. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Германии будет выступать после группы из Франции и после группы из России? Результат округлите до сотых.
7. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?
8. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.
9. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
10. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Таможенное дело», нужно набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку — 0,7, по иностранному языку — 0,8 и по обществознанию — 0,9.
ВАРИАНТ 2
1. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход РРР (все три раза выпадает решка).
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 55 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 33 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
5. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?
6. Биатлонист 9 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние шесть промахнулся. Результат округлите до сотых.
7. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30 этих стекол, вторая - 70. Первая фабрика выпускает 4 бракованных стекол, а вторая - 1. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
8. В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 6 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам.
9. Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Менеджмент», нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Т. получит не менее 69 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку — 0,5 и по обществознанию — 0,6.
Найдите вероятность того, что Т. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.
10. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
ВАРИАНТ 3
1. В чемпионате по гимнастике участвуют 60 спортсменок: 14 из Венгрии, 25 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.
2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
3. Чтобы поступить в институт на специальность «Международные отношения», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Социология», нужно набрать не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент В. получит не менее 68 баллов по математике, равна 0,7, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку — 0,6 и по обществознанию — 0,7.
Найдите вероятность того, что В. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.
4. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
5. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 52 до 67 делится на 4?
6. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
7. Сева, Слава, Аня, Андрей, Миша, Игорь, Надя и Карина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
8. На семинар приехали 5 ученых из Испании, 4 из Дании и 7 из Голландии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым окажется доклад ученого из Дании.
9. В сборнике билетов по философии всего 25 билетов, в 8 из них встречается вопрос по Пифагору. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по Пифагору.
10. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
ВАРИАНТ 4
1. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Вьетнама и после группы из Швеции? Результат округлите до сотых.
2. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,58. Вероятность того, что Т. верно решит больше 7 задач, равна 0,64. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 8 задач.
3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 60 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
4. В кармане у Саши было четыре конфеты — «Мишка», «Взлётная», «Белочка» и «Грильяж», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Взлётная».
5. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .
6. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 15 очков. Результат округлите до сотых.
7. Биатлонист 10 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 7 раз попал в мишени, а последние три промахнулся. Результат округлите до сотых.
8. На семинар приехали 5 ученых из Швейцарии, 7 из Польши и 2 из Великобритании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что тринадцатым окажется доклад ученого из Польши.
9. Чтобы поступить в институт на специальность «Международное право», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Социология», нужно набрать не менее 68 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 68 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,5 и по обществознанию — 0,7.
Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить на одну из двух упомянутых специальностей.
10. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
А) !
Б) 
B) 
Г)
P(A)=
Порядок не важен при использовании
А) размещений
Б) перестановок
В) сочетаний
Г) перестановок и размещений
А) 12
131415=32760
Б) 131415=2730
В) 121314=2184
Г) 1415=210
Сочетание из n элементов по m -это
А) число подмножеств, содержащих m элементов
Б) количество изменений места элементом данного множества
В) количество способов выбора m элементов из n c учетом порядка
Г) количество способов выбора m элементов из n без учета порядка
Сколько существует способов, чтобы рассадить квартет из одноименной басни И.А.Крылова?
А) 24
Б) 4
В) 8
Г) 6
Сколькими способами можно выбрать в группе из 30 человек одного старосту и одного физорга?
А) 30
Б) 870
В) 435
Г) 30!
А) 
Б) 
В) 
Г) 
А) 
Б) (m-2)(m-1)m
B) (m-1)m
Г) (m-2)(m-1)
Сколькими способами можно в группе из 30 человек послать 5 человек участвовать в колледжном пробеге?
А) 17100720
Б) 142506
В) 120
Г) 30!
Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
А) 40320
Б) 28
В) 16
Г) 64
Сколькими способами можно выбрать 3 книги из 9 предложенных?
А) 
Б) 
В) Р 9
Г) 3Р 9
В вазе 5 красных и 3 белых розы. Сколькими способами можно взять 4 цветка?
А)
Б) 
В) 
Г) 
В вазе 8 красных и 3 белых розы. Сколькими способами можно взять 2 красных и 1белую розы?
А) 
Б) 
В) 
Г) 
А) 110
Б) 108
В) -12
Г) 9
В почтовом ящике 38 отделений. Сколькими способами можно положить в ящик 35 одинаковых открыток так, чтобы в каждом ящике было не более одной открытки?
А) 
Б) 35!
В) 
Г) 38!
Сколько различных перестановок можно образовать из слова «слон»?
А) 6
Б) 4
В) 24
Г) 8
Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
А) 10!
Б) 90
В) 45
Г) 100
Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4?
А) 16
Б) 24
В) 12
Г) 6
На 5 сотрудников выделены 3 путевки. Сколькими способами их можно распределить, если все путевки различны?
А) 10
Б) 60
В) 125
Г) 243
А) (6;+
)
Б) (-;6)
В) (0; +)
Г) (0;6)
А) 
Б) 
В)
Г) 
А) 4
Б) 3
В) 2
Г) 5
Записать формулой фразу «число сочетаний из n элементов по 3 в 5 раз меньше числа сочетаний из n +2 элементов по 4 »
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Сколькими способами можно рассадить 28 студентов в лекционном зале?
А) 2880
Б) 5600
В) 28!
Г) 7200
Сколькими способами из 25 рабочих можно составить бригады по 5 человек в каждой?
А) 25!
Б) 
В) 
Г) 125
В группе 26 студентов. Сколькими способами можно выделить 2 человека для дежурства так, чтобы один из них был старшим?
А) 
Б) 
В) 24!
Г) 52
А) 6
Б) 5
В)
Г) 15
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 без повторений?
А) 24
Б) 6
В) 120
Г) 115
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 так, чтобы 3 и 4 были рядом?
А) 120
Б) 6
В) 117
Г) 48
Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества должен занимать только один пост?
А) 303600
Б) 25!
В) 506
Г) 6375600
А) (n-4)(n-5)
Б) (n-2)(n-1)n
В) 
Г) 
А) -2
Б) -3
В) 2
Г) 5
Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?
А) 70
Б) 1680
В) 64
Г)40320
А)
Б) (2 m-1)
В) 2m
Г) (2 m-2)!
А) (n-5)!
Б) 
В) 
Г) n(n-1)(n-2)
А) 6
Б) 4
В) 5
Г) 3
А) -1
Б) 6
В) 27
Г)-22
А) 1
Б) 0
В) 3
Г) 4
А) 9
Б) 0.5
В) 1.5
Г) 0.3
Сочетание вычисляется по формуле
А) !
Б)
B) P(A)=
Г)
Размещения вычисляются по формуле
А)
P(A)=
Б)
B)
Г) !
Перестановки из n элементов –это
А) выбор элементов из множества « n »
Б) количество элементов в множестве « n »
В) подмножество множества из n элементов
Г) установленный порядок во множестве « n »
Размещения применяются в задаче, если
А) происходит выбор элементов из множества с учетом порядка
Б) происходит выбор элементов из множества без учета порядка
В) необходимо осуществлять перестановку во множестве
Г) если все отобранные элементы одинаковы
В урне 6 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно вынуть из нее 2 белых и 3 черных шара?
А) 
Б) 
В)
Г) 
Среди 100 лотерейных билетов 45 выигрышных. Сколькими способами можно из трех купленных билетов получить выигрыш на одном?
А) 45
Б) 
В) 
Г) 
Ответы к тесту №1
Ответы к тесту №2
Тест№2
«Основы теории вероятностей»
Случайным событием называется
А) такой исход эксперимента, при котором ожидаемый результат может произойти, а может не произойти
Б) такой исход эксперимента, который уже известен заранее
В) такой исход эксперимента, который нельзя определить заранее
Г) такой исход эксперимента, который при сохранении условий эксперимента постоянно повторяется
Союз «и» означает
А) сложение вероятностей событий
Б) умножение вероятностей событий
Г) деление вероятностей событий
Союз «или» означает
А) деление вероятностей событий
Б) сложение вероятностей событий
В) разность вероятностей событий
Г) умножение вероятностей событий
События, при которых наступление одного из них исключает наступление другого, называются
А) несовместными
Б) независимыми
В) зависимыми
Г) совместными
Полную группу событий образует
А) совокупность независимых событий, если в результате единичных испытаний произойдет обязательно одно из этих событий
Б) совокупность независимых событий, если в результате единичных испытаний произойдут обязательно все эти события
В) совокупность несовместных событий, если в результате единичных испытаний произойдет обязательно одно из этих событий
Г) совокупность несовместных событий, если в результате единичных испытаний произойдут обязательно все эти события
Противоположными называются
А) два независимых, образующих полную группу, событий
Б) два независимых события
В) два несовместных события
Г) два несовместных, образующих полную группу, событий
Независимыми называются два события
А) которые в результате испытания обязательно произойдут
Б) которые в результате испытания никогда не происходят вместе
В) в которых исход одного из них не зависит от исхода другого события
Г) в которых исход одного из них полностью зависит от исхода другого события
Событие, которое в результате испытания обязательно произойдет
А) невозможное
Б) точное
В) достоверное
Г) случайное
Событие, которое в результате испытания никогда не произойдет
А) невозможное
Б) точное
В) достоверное
Г) случайное
Наибольшее значение вероятности равно
А) 100%
Б) 1
В) бесконечность
Г) 0
Сумма вероятностей противоположных событий равна
А) 0
Б) 100%
В) -1
Г) 1
Фраза «хотя бы один» означает
А) только один элемент
Б) ни одного элемента
Г) один, два и не больше элементов
Классическое определение вероятности
А) вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов, образующих полную группу событий.
Б) Вероятность есть мера возможности наступления события в том или ином испытании
В) Вероятностью называется отношение числа испытаний, при которых событие произошло, к числу всех испытаний, при проведении которых событие могло произойти или не произойти.
Г) Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью.
Вероятность есть мера возможности наступления события в том или ином испытании
Это определение вероятности
А) классическое
Б) геометрическое
В) аксиоматическое
Г) статистическое
Вероятностью называется отношение числа испытаний, при которых событие произошло, к числу всех испытаний, при проведении которых событие могло произойти или не произойти. Это определение вероятности
А) классическое
Б) геометрическое
В) аксиоматическое
Г) статистическое
Условная вероятность вычисляется по формуле
А) Р(А/В)=
Б) Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
В) Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Г) Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Эта формула Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)применяется для двух
А) несовместных событий
Б) совместных событий
В) зависимых событий
Г) независимых событий
Для каких двух событий применяется понятие условной вероятности
А) невозможных
Б) достоверных
В) совместных
Г) зависимых
Формула полной вероятности
А) Р(H I /A)=
Б) Р(А)=Р(А/ H 1 ) P (H 1 )+ Р(А/ H 2 ) P (H 2 )+…+ Р(А/ H n ) P (H n )
В)
P
n
(m
)=
Г) Р(А)=
Б) теорема Байеса
В) схема Бернулли
А) формула полной вероятности
Б) теорема Байеса
В) схема Бернулли
Г) классическое определение вероятности
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6
А) Р(А)=
Б) Р(А)=
В) Р(А)=
Г) Р(А)=
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков 11, а разность 5
А) Р(А)=0
Б) Р(А)=2/36
В) Р(А)= 1
Г) Р(А)=1/6
Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность любого из узлов выводит из строя весь прибор. Вероятность исправной работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго-0,85, третьего-0,95. С какой вероятностью прибор будет работать в течение суток безотказно?
А) Р(А)=0,1·0,15·0,05=0,00075
Б) Р(А)=0,9·0,85·0,95=0,727
В) Р(А)=0,1+0,85·0,95=0,91
Г) Р(А)=0,1·0,15·0,95=0,014
Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что окажется равным задуманному числу случайно названное двузначное число?
А) Р(А)=0,1
Б) Р(А)=2/90
В) Р(А)= 1/100
Г) Р(А)=0,9
Двое стреляют по мишени с одинаковой вероятностью попадания равной 0,8. Какова вероятность поражения мишени?
А) Р(А)=0,8·0,8=0,64
Б) Р(А)=1-0,2·0,2=0,96
В) Р(А)=0,8·0,2+0,2·0,2=0,2
Г) Р(А)=1-0,8=0,2
Два ученика ищут нужную им книгу. Вероятность того, что книгу найдет первый ученик, равна 0,6, а второй 0,7. Какова вероятность того, что только один из учеников найдет нужную книгу?
А) Р(А)=1-0,6·0,7=0,58
Б) Р(А)=1-0,4·0,3=0,88
В) Р(А)=0,6·0,3+0,7·0,4=0,46
Г) Р(А)=0,6·0,7+0,3·0,4=0,54
Из колоды в 32 карты взяты наудачу одна за другой две карты. Найти вероятность того, что взяты два короля?
А) Р(А)=0,012
Б) Р(А)= 0,125
В) Р(А)=0,0625
Г) Р(А)=0,031
Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго 0,8, для третьего 0,9. Найти вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок?
А) Р(А)= 0,25·0,2·0,1=0,005
Б) Р(А)=0,75·0,8·0,9=0.54
В) Р(А)=1-0,25·0,2·0,1=0,995
Г) Р(А)=1-0,75·0,8·0,9=0,46
В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами от №1 до №10. Наудачу берут 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей будет деталь №5?
А) Р(А)= 5/10=0,2
Б) Р(А)=
В) Р(А)= 1/10=0,1
Г) Р(А)=
Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 4 изделий 3 будет с браком, если в партии из 100 изделий 10-бракованных.
А) Р(А)= 
Б) Р(А)= 
В) Р(А)=
Г) Р(А)=
В вазе 10 белых и 8 алых роз. Наудачу берут два цветка. Какова вероятность того. Что они разного цвета?
А) Р(А)=
Б) Р(А)= 
В) Р(А)= 
Г) Р(А)= 2/18
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1/8. Какова вероятность того, что из 12 выстрелов не будет ни одного промаха?
А) Р
12
(12)=
Б) Р
12
(1)=
В) Р(А)= 
Г) Р(А)= 
Вратарь парирует в среднем 30% всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет 2 из 4 мячей?
А) Р
4
(2)=
Б) Р
4
(2)= 
В) Р
4
(2)=
Г) Р
4
(2)= 
В питомнике 40 вакцинированных кроликов и 10 контрольных. Осуществляют проверку подряд 14 кроликов, результат регистрируют и отправляют кроликов обратно. Определить наивероятнейшее число появления контрольного кролика.
А) 10
Б) 14
В) 14
Г) 14
Изделия высшего сорта на обувной фабрике составляют 10% всей продукции. Сколько пар сапог высшего сорта можно надеяться найти среди 75 пар, поступивших с этой фабрики в магазин?
А)75
Б) 75
В) 75
Г) 75
А) Локальная формула Лапласа
Б) Интегральная формула Лапласа
В)формула Муавра- Лапласа
Г) Схема Бернулли
При решении задачи «Вероятность появления брака в серии деталей равна 2%. Какова вероятность того, что в партии из 600 деталей окажется 20 бракованных?» более применима
А) схема Бернулли
Б) формула Муавра – Лапласа
В) локальная формула Лапласа
При решении задачи «В каждом из 700 независимых испытаний на брак, появление стандартной лампочки происходит с постоянной вероятностью 0,65. Найти вероятность того, что при таких условиях, появление бракованной лампочки произойдет чаще, чем в 230 испытаниях, но реже, чем в 270 случаях» более применима
А) схема Бернулли
Б) формула Муавра – Лапласа
В) локальная формула Лапласа
Г) интегральная формула Лапласа
Набирая номер телефона, абонент забыл цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра?
А) Р(А)=1/9
Б) Р(А)=1/10
В) Р(А)=1/99
Г) Р(А)=1/100
Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное число очков?
А) Р(А)= 5/6
Б) Р(А)=1/6
В) Р(А)=3/6
Г) Р(А)=1
В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной?
А) Р(А)=0,1
Б) Р(А)=
В) Р(А)= 
Г) Р(А)=0,3
В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны одновременно вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
А) Р(А)= 
Б) Р(А)= 
В) Р(А)=2/12
Г) Р(А)=
10 различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что 3 определенные книги окажутся поставленные рядом?
А) Р(А)=
Б) Р(А)=
В)Р(А)=
Г) Р(А)= 
Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5?
А) Р(А)=5/100
Б) Р(А)=1/100
В) Р(А)=
Г) Р(А)=
Тест №3
«Дискретные случайные величины»
Величина, которая в зависимости от результата эксперимента, может принимать различные числовые значения, называется
А) случайной
Б) дискретной
В) непрерывной
Г) вероятностью
Дискретной случайной величиной называется
А) величина, которая в зависимости от результата эксперимента, может принимать различные числовые значения
Б) величина, которая изменяется от одного испытания к другому с определенной вероятностью
В) величина, которая не изменяется при нескольких испытаниях
Г) величина, которая не зависимо от результата эксперимента, может принимать различные числовые значения
Модой называется
А) среднее значение дискретной случайной величины
Б) сумма произведений значений случайной величины на их вероятность
В) математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания
Г) значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая
Среднее значение дискретной случайной величины называется
А) модой
Б) математическим ожиданием
В) медианой
Сумма произведений значений случайной величины на их вероятность называется
А) дисперсией
Б) математическим ожиданием
В) модой
Г) средним квадратичным отклонением
Математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания
А) мода
Б) медиана
В) среднее квадратичное отклонение
Г) дисперсия
Формула, по которой вычисляется дисперсия
А)
Б) М(х 2 )-М(х)
В) М(х 2 )-(М(х)) 2
Г) (М(х)) 2 -М(х 2 )
Формула, по которой вычисляется математическое ожидание
А)
Б) М(х 2 )-(М(х)) 2
В) 
Г) 
По заданному ряду распределения дискретной случайной величины найти математическое ожидание
Б) 1,3
В) 0,5
Г) 0,8
По заданному ряду распределения дискретной случайной величины найти М(х 2 )
Б) 2,25
В) 2,9
Г) 0,99
Найти неизвестную вероятность
Б) 0,75
В) 0
Г) 1
Найти моду
Б) 1,7
В) 0,28
Г) 1,2
Найти медиану
Б) 1,2
В) 4
Г) 0,28
Найти медиану
Б) 3,5
В) 0,25
Г) 1,1
Найти неизвестное значение х, если М(х)=1,1
Б) 1,1
В) 1,2
Г) 0
Математическое ожидание постоянной величины равно
Приведенные к настоящему моменту в открытом банке задач ЕГЭ по математике (mathege.ru), решение которых основано на одной лишь формуле, представляющей собой классическое определение вероятности.
Понять формулу проще всего на примерах.
Пример 1.
В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?
Комментарий. В задачах по теории вероятности происходит нечто (в данном случае наше действие по вытаскиванию шара), что может иметь разный результат - исход. Нужно заметить, что на результат можно смотреть по-разному. "Мы вытащили какой-то шар" - тоже результат. "Мы вытащили синий шар" - результат. "Мы вытащили именно вот этот шар из всех возможных шаров" - такой наименее обобщенный взгляд на результат называется элементарным исходом. Именно элементарные исходы имеются в виду в формуле для вычисления вероятности.
Решение.
Теперь вычислим вероятность выбора синего шара.
Событие А: "выбранный шар оказался синего цвета"
Общее число всех возможных исходов: 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить)
Число благоприятных для события А исходов: 3 (количество таких исходов, при которых событие А произошло, - то есть, количество синих шаров)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Ответ: 0,25
Посчитаем для той же задачи вероятность выбора красного шара.
Общее число возможных исходов останется тем же, 12. Число благоприятных исходов: 9. Искомая вероятность: 9/12=3/4=0,75
Вероятность любого события всегда лежит в пределах от 0 до 1.
Иногда в повседневной речи (но не в теории вероятности!) вероятность событий оценивают в процентах. Переход между математической и разговорной оценкой осуществляется путем умножения (или деления) на 100%.
Итак,
При этом вероятность равна нулю у событий, которые не могут произойти - невероятны. Например, в нашем примере это была бы вероятность вытащить из корзины зеленый шар. (Число благоприятных исходов равно 0, Р(А)=0/12=0, если считать по формуле)
Вероятность 1 имеют события, которые абсолютно точно произойдут, без вариантов. Например, вероятность того, что «выбранный шар окажется или красным или синим» - для нашей задачи. (Число благоприятных исходов: 12, Р(А)=12/12=1)
Мы рассмотрели классический пример, иллюстрирующий определение вероятности. Все подобные задачи ЕГЭ по теории вероятности решаются применением данной формулы.
На месте красных и синих шаров могут быть яблоки и груши, мальчики и девочки, выученные и невыученные билеты, билеты, содержащие и не содержащие вопрос по какой-то теме (прототипы , ), бракованные и качественные сумки или садовые насосы (прототипы , ) – принцип остается тем же.
Немного отличаются формулировкой задачи теории вероятности ЕГЭ, где нужно вычислить вероятность выпадения какого-то события на определенный день. ( , ) Как и в предыдущих задачах нужно определить, что является элементарным исходом, после чего применить ту же формулу.
Пример 2. Конференция длится три дня. В первый и второй день выступают по 15 докладчиков, в третий день – 20. Какова вероятность того, что доклад профессора М. выпадет на третий день, если порядок докладов определяется жеребьевкой?
Что здесь является элементарным исходом? – Присвоение докладу профессора какого-то одного из всех возможных порядковых номеров для выступления. В жеребьевке участвует 15+15+20=50 человек. Таким образом, доклад профессора М. может получить один из 50 номеров. Значит, и элементарных исходов всего 50.
А какие исходы благоприятные? – Те, при которых окажется, что профессор будет выступать в третий день. То есть, последние 20 номеров.
По формуле вероятность P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Ответ: 0,4
Жеребьевка здесь представляет собой установление случайного соответствия между людьми и упорядоченными местами. В примере 2 установление соответствия рассматривалось с точки зрения того, какое из мест мог бы занять конкретный человек. Можно к той же ситуации подходить с другой стороны: кто из людей с какой вероятностью мог бы попасть на конкретное место (прототипы , , , ):
Пример 3. В жеребьевке участвуют 5 немцев, 8 французов и 3 эстонца. Какова вероятность того, что первым (/вторым/седьмым/последним – не важно) будет выступать француз.
Количество элементарных исходов – количество всех возможных людей, которые могли бы по жеребьевке попасть на данное место. 5+8+3=16 человек.
Благоприятные исходы – французы. 8 человек.
Искомая вероятность: 8/16=1/2=0,5
Ответ: 0,5
Немного отличается прототип . Остались задачи про монеты () и игральные кости (), несколько более творческие. Решение этих задач можно посмотреть на страницах прототипов.
Приведем несколько примеров на бросание монеты или кубика.
Пример 4.
Когда подбрасываем монету, какова вероятность выпадения решки?
Исходов 2 – орел или решка. (считается, что монета никогда не падает на ребро)
Благоприятный исход – решка, 1.
Вероятность 1/2=0,5
Ответ: 0,5.
Пример 5.
А если подбрасываем монету два раза? Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:
1) PP – оба раза выпала решка
2) PO – первый раз решка, второй раз орел
3) OP – первый раз орел, второй раз решка
4) OO – оба раза выпал орел
Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов 4. Благоприятный из них только первый, 1.
Вероятность: 1/4=0,25
Ответ: 0,25
Какова вероятность того, что из двух подбрасываний монеты один раз выпадет решка?
Количество элементарных исходов то же, 4. Благоприятные исходы – второй и третий, 2.
Вероятность выпадения одной решки: 2/4=0,5
В таких задачах может пригодиться ещё одна формула.
Если при одном бросании монеты возможных вариантов результата у нас 2, то для двух бросаний результатов будет 2·2=2 2 =4 (как в примере 5), для трех бросаний 2·2·2=2 3 =8, для четырех: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N бросаний возможных результатов будет 2·2·...·2=2 N .
Так, можно найти вероятность выпадения 5 решек из 5 бросаний монеты.
Общее число элементарных исходов: 2 5 =32.
Благоприятных исходов: 1. (РРРРР – все 5 раз решка)
Вероятность: 1/32=0,03125
То же верно и для игральной кости. При одном бросании возможных результатов здесь 6. Значит, для двух бросаний: 6·6=36, для трех 6·6·6=216, и т. д.
Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?
Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5
Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)
Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта.
Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08
Другие типы задач B6 будут рассмотрены в одной из следующих статей «Как решать».
Вариант№1
- В партии из 800 кирпичей есть 14 бракованных. Мальчик выбирает наугад один кирпич из этой партии и бросает его с восьмого этажа стройки. Какова вероятность, что брошенный кирпич окажется бракованным?
- Экзаменационный сборник по физике для 11 класса состоит из 75 билетов. В 12 из них встречается вопрос о лазерах. Какова вероятность, что ученик Степа, выбирая билет наугад, наткнется на вопрос о лазерах?
- На чемпионате по бегу на 100 м выступают 3 спортсмена из Италии, 5 спортсменов из Германии и 4 - из России. Номер дорожки для каждого спортсмена определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что на второй дорожке будет стоять спортсмен из Италии?
- В магазин завезли 1500 бутылок водки. Известно, что 9 из них - просроченные. Найти вероятность того, что алкоголик, выбирающий одну бутылку наугад, в итоге купит именно просроченную.
- В городе работают 120 офисов различных банков. Бабуля выбирает один из этих банков наугад и открывает в нем вклад на 100 000 рублей. Известно, что во время кризиса 36 банков разорились, и вкладчики этих банков потеряли все свои деньги. Какова вероятность того, что бабуля не потеряет свой вклад?
- За одну 12-часовую смену рабочий изготавливает на станке с числовым программным управлением 600 деталей. Из-за дефекта режущего инструмента на станке получено 9 бракованных деталей. В конце рабочего дня мастер цеха берет одну деталь наугад и проверяет ее. Какова вероятность, что ему попадется именно бракованная деталь?
Зачет по теме: «Теория вероятности в задачах ЕГЭ»
Вариант№1
- На Киевском вокзале в Москве работают 28 окон билетных касс, рядом с которыми толпятся 4000 пассажиров, желающих купить билеты на поезд. По статистике, 1680 из этих пассажиров неадекватны. Найти вероятность того, что кассиру, сидящему за 17-м окном, попадется неадекватный пассажир (учитывая, что пассажиры выбирают кассу наугад).
- Банк «Русский стандарт» проводит лотерею для своих клиентов - держателей карт Visa Classic и Visa Gold. Будет разыграно 6 автомобилей Opel Astra, 1 автомобиль Porsche Cayenne и 473 телефона iPhone 4. Известно, что менеджер Вася оформил карту Visa Classic и стал победителем лотереи. Какова вероятность, что он выиграет автомобиль Opel Astra, если приз выбирается наугад?
- Во Владивостоке отремонтировали школу и поставили 1200 новых пластиковых окон. Ученик 11-го класса, который не хотел сдавать ЕГЭ по математике, нашел на газоне 45 булыжников и начал кидать их в окна наугад. В итоге, он разбил 45 окон. Найти вероятность того, что окно в кабинете директора окажется не разбитым.
- На американский военный завод поступила партия из 9000 поддельных микросхем китайского производства. Эти микросхемы устанавливаются в электронные прицелы для винтовки M-16. Известно, что 8766 микросхем в указанной партии неисправны, и прицелы с такими микросхемами будут работать неправильно. Найти вероятность того, что наугад выбранный электронный прицел работает правильно.
- Бабуля хранит на чердаке своего загородного дома 2400 банок с огурцами. Известно, что 870 из них давно протухли. Когда к бабуле приехал внучек, она подарила ему одну банку из своей коллекции, выбирая ее наугад. Какова вероятность того, что внучек получил банку с тухлыми огурцами?
- Бригада из 7 строителей-мигрантов предлагает услуги по ремонту квартир. За летний сезон они выполнили 360 заказов, причем в 234 случаях не убрали строительный мусор из подъезда. Коммунальные службы выбирают одну квартиру наугад и проверяют качество ремонтных работ. Найти вероятность того, что сотрудники коммунальных служб не наткнутся при проверке на строительный мусор.
Ответы:
Вар№1 | ||||||
ответ | 0,0175 | 0,16 | 0,25 | 0,006 | 0,015 |
|
Вар №2 | ||||||
ответ | 0,42 | 0,0125 | 0,9625 | 0,026 | 0,3625 | 0,35 |
