Опыты, проведенные Рикке в 1901 г., Мандельштамом и Папалекси в 1913 г., Толменом и Стюартом в 1916 г. показали, что носителями тока в металлах являются электроны. Ток в металлах можно вызвать крайне малой разностью потенциалов. Это даёт основание считать, что электроны перемещаются по металлу практически свободно. Появление этих свободных электронов объясняется тем, что при образовании кристаллической решётки от атомов металлов легко отрываются слабее всего связанные валентные электроны. Можно показать, что концентрация их достигает электронов в . При такой высокой концентрации электронов средняя сила, действующая на электрон со стороны всех остальных электронов и ионов, равна нулю и, следовательно, электроны можно считать свободными частицами и их взаимодействие с ионами можно рассматривать как ряд последовательных соударений.

В этом приближении система электронов может анализироваться как система одноатомных молекул идеального газа. Исходя из этого, Друде и позднее Лоренц распространили результаты кинетической теории газов (см лекции 1,2) на свободные электроны - на так называемый электронный газ и получили законы Ома, Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

В позапрошлом семестре изучались эти законы [см. конспект лекций, ч. II, формулы (16), (38) в лекциях 6,7].

Плотность тока проводимости равна произведению удельной электрической проводимости проводника на напряжённость электрического поля в проводнике , т.е.

Закон Ома в дифференциальной форме. (1)

Удельная тепловая мощность тока в проводнике равна произведению его удельной электрической проводимости на квадрат напряжённости электрического поля в проводнике , т. е.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме, (2)

где в (1) и (2) g - удельная электропроводность (g = 1/r).

Друде и Лоренц показали, что для металлических проводников

где n - концентрация свободных электронов, e и m - заряд и масса электрона, ál ñ -средняя длина свободного пробега электрона, ávñ - средняя скорость теплового движения электрона. Согласно формуле (30) в лекции 1,2 ávñ и при Т = 300 К, (масса электрона ), .

Скорость же направленного движения (скорость дрейфа электрона), возникающего благодаря электрическому полю . Для , (заряд электрона ), v др = = 0,78 мм/с, т. е. много меньше скорости теплового движения электрона.

Итак, классическая теория объяснила законы Ома, Джоуля-Ленца, Видемана-Франца. Вместе с тем она имеет ряд недостатков.

Строгий анализ с использованием квантовой теории показал, что не все валентные электроны свободно движутся по решётке с тепловыми скоростями, а лишь малая их часть. Подавляющее число валентных электронов в электропроводимости (как и в теплоёмкости) не участвуют. Это приводит к расхождениям между классической теорией и практикой. Например, из (3) следует, что ~ ~ , а на практике в большом диапазоне изменения температур g ~ 1/Т.

Эти и другие расхождения объясняет квантовая теория.

С позиций классической электронной теории высокая электропроводность металлов обусловлена наличием огромного числа свободных электронов, движение которых подчиняется законам классической механики Ньютона. В этой теории пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие их с положительными ионами сводят только к соударениям. Иными словами, электроны проводимости рассматриваются как электронный газ, подобный одноатомному, идеальному газу. Такой электронный газ должен подчи­няться всем законам идеального газа. Следовательно, средняя кинетическая энергия теплового движения электрона будет равна , где - масса электрона, - его среднеквадратичная скорость, k - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. Отсюда при Т=300 К среднеквад­ратичная скорость теплового движения электронов »10 5 м/с.

Хаотичное тепловое движение электронов не может привести к возникнове­нию электрического тока, но под действием внешнего электрического поля в проводнике возникает упо­рядоченное движение электронов со скоростью . Оценить величину можно из ранее выведенного соотношения , где j - плотность тока, - концентрация электронов, e - заряд электрона. Как по­казывает расчет, »8×10 -4 м/с. Чрезвычайно малое значение величины по сравнению с величиной объясняется весьма частыми столкновениями электронов с ионами решетки. Каза­лось бы, полученный результат для противоречит тому факту, что передача электрического сигнала на очень большие расстояния происходит практически мгновенно. Но дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распро­странение электрического поля со скоростью 3×10 8 м/с (скорость света). Поэтому упорядоченное движение электронов со скоростью под действием поля возникнет практически сразу же на всем протяжении цепи, что и обеспечивает мгновенную передачу сиг­нала.

На базе классической электронной теории были выведены рассмотренные выше основные законы электрического тока - законы Ома и Джоуля-Ленца в диф­фе­ренциальной форме и . Кроме того, классическая теория дала качественное объяснение закону Видемана-Франца. В 1853 г. И.Видеман и Ф.Франц установили, что при определенной темпе­ра­туре отношение коэффициента теплопроводности l к удельной проводимости g оди­наково для всех металлов. Закон Видемана-Франца имеет вид , где b - постоянная, не зависящая от природы металла. Классическая электронная теория объясняет и эту закономерность. Электр­оны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только электриче­ский заряд, но и кинетическую энергию беспорядочного теплового движения. Поэтому те метал­лы, кото­рые хорошо проводят электрический ток, являются хорошими проводни­ками тепла. Классическая электронная теория качественно объяснила природу электриче­с­кого сопротивления металлов. Во внешнем поле упорядоченное движение элек­тронов нарушается их соударениями с положительными ионами решетки. Между двумя столкновениями электрон движется ускоренно и приобретает энергию, кото­рую при последующем столкновении отдает иону. Можно считать, что движение электрона в металле происходит с трением, подобным внутреннему трению в газах. Это трение и создает сопротивление металла.

Вместе с тем классическая теория встретилась с су­щественными затруднениями. Перечислим некоторые из них:

1. Несоответствие теории и эксперимента возникло при расчете теплоемко­сти металлов. Согласно кинетической теории молярная теплоемкость металлов должна складываться из теплоемкости атомов и теплоемкости свободных электронов. Так как атомы в твердом теле совершают только колебательные движения, то их молярная теплоемкость равна С=3R (R=8.31 Дж/(моль×К) - молярная газовая постоянная); свободные электроны двигаются только поступательно и их молярная теплоемкость равна С=3/2R. Общая теплоемкость должна быть С»4.5R , но согласно опытным данным С=3R.

2. По расчетам электронной теории, сопротивление R должно быть пропор­цио­нальным , где Т - термодинамическая температура. Согласно опытным дан­ным, R~Т.

3. Полученные опытным путем значения электропроводности g дают для сред­ней длины свободного пробега электронов в металлах величину порядка сотен меж­доузельных расстояний. Это гораздо больше, чем по классической теории.

Расхождение теории с опытом объясняется тем, что движение электронов в ме­талле подчиняется не законам классической механики, а законам квантовой ме­ханики. Достоинством классической электронной теории являются простота, на­глядность и правильность многих качественных ее результатов.

Согласно теории Друде-Лоренца носителями тока в металлах являются свободные электроны, что объясняет высокую электропроводность металлов. Ионы в процессе протекания тока через металл участия не принимают. Если бы это было так, то протекание тока через металл сопровождалось переносом вещества. В действительности этого не наблюдается (опыт Рикке).

Основные положения классической электронной теории металлов следующие :

1. Металлы имеют кристаллическую решётку, в узлах которой находятся положительные ионы (рис.14.1). Эти ионы не могут перемещаться по кристаллу, а испытывают лишь небольшие колебания около своих положений равновесия.

2. Между узлами кристаллической решётки движутся свободные электроны, называемые электронами проводимости .

3. При наличии внешнего электрического поля Е на хаотическое движение свободных электронов накладывается их упорядоченное (направленное) движение – так называемый дрейф электронов в определённом направлении.

4. Электроны проводимости при своём движении сталкиваются с ионами решётки, столкновения между электронами проводимости не учитывается.

5. Внешнее поле не влияет на концентрацию носителей тока и среднее время их свободного пробега.

§ 14.2 Закон Ома и Джоуля-Ленца в классической электронной теории

Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, на один электрон приходится средняя кинетическая энергия теплового движения

(k - постоянная Больцмана, Т – температура (на каждую степень свободы приходится энергия, равная , электрон рассматривается как материальная точка; следовательно, свободный электрон обладает тремя степенями свободы)).

При тепловом движении электроны испытывают соударения.

Путь, проходимый электронами между двумя последовательными соударениями, называют длиной свободного пробега <ℓ> (рис.14.2).

Предположим, что при каждом соударении электрон полностью передаёт свою энергию ионам решётки и начальная скорость последующего движения электрона равна нулю.

Если по проводнику течёт постоянный ток, то внутри проводника существует электрическое поле, напряжённостью Е . На каждый электрон со стороны электрического поля действует сила F =eE , где е – заряд электрона. Под действием этой силы электрон приобретает ускорение а , которое можно определить из равенства m e a =еЕ, откуда

(14.1)

(m e - масса электрона).

Если < t > – среднее время между двумя последовательными соударениями, то к концу свободного пробега электрон приобретает скорость

(14.2)

Средняя скорость упорядоченного движения электронов

(14.3)

(начальная скорость считается равной нулю, поэтому движение равноускоренное).

Среднее время между двумя последовательными соударениями можно определит, если знать длину свободного пробега и среднюю скорость теплового движения < υ τ > :

(14.4)

Вообще,
, но соотношение (14.4) справедливо, так как уже было показано, что

Подставив <ℓ> из (3.99) в формулу (3.98), получим

(14.5)

Подставив в формулу j = ne< υ > (13.37) , получим

(14.6)

(14. 7)

- удельная проводимость материала проводника (величина, обратная его удельному сопротивлению)).

Единица удельной проводимости – сименс на метр (См/м)

Из выражения (3.101), представляющего закон Ома, следует: плотность тока пропорциональна напряжённости электрического поля, что совпадает с (3.81).

Из формулы (3.101) легко получить закон Ома в виде
, для этого её правую и левую части надо умножить наS – площадь поперечного сечения проводника. Учитывая, что
, получаем
, но
, а
(поле внутри проводника длиной ℓ считаем однородным); следовательно,

(14.8)

С позиций классической электронной теории высокая электропроводность металлов обусловлена наличием огромного числа свободных электронов, движение которых подчиняется законам классической механики Ньютона. В этой теории пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие их с положительными ионами сводят только к соударениям. Иными словами, электроны проводимости рассматриваются как электронный газ, подобный одноатомному, идеальному газу. Такой электронный газ должен подчи­няться всем законам идеального газа. Следовательно, средняя кинетическая энергия теплового движения электрона будет равна , где - масса электрона, - его среднеквадратичная скорость, k - постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. Отсюда при Т=300 К среднеквад­ратичная скорость теплового движения электронов »10 5 м/с.

Хаотичное тепловое движение электронов не может привести к возникнове­нию электрического тока, но под действием внешнего электрического поля в проводнике возникает упо­рядоченное движение электронов со скоростью . Оценить величину можно из ранее выведенного соотношения , где j - плотность тока, - концентрация электронов, e - заряд электрона. Как по­казывает расчет, »8×10 -4 м/с. Чрезвычайно малое значение величины по сравнению с величиной объясняется весьма частыми столкновениями электронов с ионами решетки. Каза­лось бы, полученный результат для противоречит тому факту, что передача электрического сигнала на очень большие расстояния происходит практически мгновенно. Но дело в том, что замыкание электрической цепи влечет за собой распро­странение электрического поля со скоростью 3×10 8 м/с (скорость света). Поэтому упорядоченное движение электронов со скоростью под действием поля возникнет практически сразу же на всем протяжении цепи, что и обеспечивает мгновенную передачу сиг­нала.

На базе классической электронной теории были выведены рассмотренные выше основные законы электрического тока - законы Ома и Джоуля-Ленца в диф­фе­ренциальной форме и . Кроме того, классическая теория дала качественное объяснение закону Видемана-Франца. В 1853 г. И.Видеман и Ф.Франц установили, что при определенной темпе­ра­туре отношение коэффициента теплопроводности l к удельной проводимости g оди­наково для всех металлов. Закон Видемана-Франца имеет вид , где b - постоянная, не зависящая от природы металла. Классическая электронная теория объясняет и эту закономерность. Электр­оны проводимости, перемещаясь в металле, переносят с собой не только электриче­ский заряд, но и кинетическую энергию беспорядочного теплового движения. Поэтому те метал­лы, кото­рые хорошо проводят электрический ток, являются хорошими проводни­ками тепла. Классическая электронная теория качественно объяснила природу электриче­с­кого сопротивления металлов. Во внешнем поле упорядоченное движение элек­тронов нарушается их соударениями с положительными ионами решетки. Между двумя столкновениями электрон движется ускоренно и приобретает энергию, кото­рую при последующем столкновении отдает иону. Можно считать, что движение электрона в металле происходит с трением, подобным внутреннему трению в газах. Это трение и создает сопротивление металла.

Вместе с тем классическая теория встретилась с су­щественными затруднениями. Перечислим некоторые из них:

1. Несоответствие теории и эксперимента возникло при расчете теплоемко­сти металлов. Согласно кинетической теории молярная теплоемкость металлов должна складываться из теплоемкости атомов и теплоемкости свободных электронов. Так как атомы в твердом теле совершают только колебательные движения, то их молярная теплоемкость равна С=3R (R=8.31 Дж/(моль×К) - молярная газовая постоянная); свободные электроны двигаются только поступательно и их молярная теплоемкость равна С=3/2R. Общая теплоемкость должна быть С»4.5R , но согласно опытным данным С=3R.

Следует помнить, что если в разветвлѐнной цепи число узлов n , то независимых уравнений по первому правилу можно написать для (n – 1 ) узлов. При применении второго правила каждый следующий контур надо выбирать так, чтобы он содержал хотя бы один участок цепи, не входивший в ранее рассмотренные контуры. Таким образом, используя формулы (3.145) и (3.146), получаем систему уравнений, которую и следует решить для нахождения неизвестных по условию задачи параметров разветвлѐнной цепи.

3.11 Классическая электронная теория электропроводности металлов

Носителями тока в металлах, как было экспериментально установлено, являются электроны. Исходя из представлений о наличии в металлах свободных электронов, Друде и Лоренц создали классическую электронную теорию проводимости металлов.

Существование в металлах свободных электронов можно объяснить тем, что при образовании кристаллической решѐтки в результате сближения атомов и взаимодействия между ними, сравнительно слабо связанные с ядром валентные электроны отрываются от атомов металла, становятся свободными и могут перемещаться по всему объѐму металла. Таким образом, в узлах кристаллической решѐтки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны. В классической электронной теории Друде – Лоренца электроны проводимости ведут себя подобно молекулам идеального газа, правда, в отличие от молекул идеального газа, электроны сталкиваются преимущественно не между собой, а с ионами кристаллической решѐтки. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронным газом и кристаллической решѐткой, и, следовательно, электронный газ имеет такую же температуру, как и весь металл. Распространяя на электронный газ результаты кинетической теории газов, среднюю скорость теплового движения электронов можно оценить по формуле:

где m e 9 , 1 10 31 кг - масса электрона. Для комнатной температуры

(Т ~ 300 К ) вычисление по формуле (3.147) даѐт значение 10 5 м/с .

При включении электрического поля на хаотическое тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение электронов

(возникает электрический ток) со средней скоростью u , которую можно оценить, исходя из формулы:

j en0 u .

Предельная допустимая плотность тока, например, для медных проводов составляет величину порядка 10 7 А/м 2 , а концентрация валентных электронов для меди n 0 ~ 10 29 м – 3 . Это даѐт для u 10 3 м/с . Таким

образом, u .

Друде считал, что при соударении электрона с узлом кристаллической решѐтки приобретаемая электроном на длине свободного пробега энергия

проводника однородно и под его действием электрон после столкновения движется с ускорением

и к концу свободного пробега приобретѐт в среднем скорость
где - среднее время между двумя последовательными					соударениями.

Друде не учитывал максвелловское распределение электронов по скоростям

приписывал всем

электронам

одинаковую

скорость равную

Следовательно

Средняя

длина свободного

электрона. Скорость

изменяется за время свободного пробега при a const линейно, поэтому

u max

2m e

Подставив это выражение в (3.148), получим:

ne2 E

и, вспоминая закон Ома в дифференциальной форме, получаем для удельной электропроводности:

Отметим, что в соответствии с классической теорией электропроводности, сопротивление металлов обусловлено столкновениями электронов с узлами–ионами кристаллической решѐтки. Для закона Джоуля– Ленца в дифференциальной форме Друде получил

используя тот факт, что на длине свободного пробега электрон приобретает дополнительную кинетическую энергию

			e 2 2
			2 m 2

которую он полностью передаѐт кристаллической решѐтке, а поскольку

соударений, то в единицу времени в единице объѐма должна выделяться энергия

				mu max2			E 2 ,

Лоренц впоследствии усовершенствовал теорию Друде, применив статистику Максвелла – Больцмана, и показал, что к тем же результатам можно прийти, считая соударения электронов с узлами решѐтки абсолютно

упругими, и получил для выражение:

			n2 e2

Классическая теория Друде – Лоренца не смогла объяснить целый ряд явлений, наблюдающихся на опыте. Так из опыта следует, что ~ T , а из

(3.154) следует, что ~ T . При оценке средней длины свободного пробега по формулам (3.154) и (3.158), подставляя туда экспериментальные

больше межатомного расстояния, т. е. приходится предположить, что электрон проходит без соударений с ионами решѐтки сотни межузельных расстояний. Наконец, для электронного газа классическая теория

предсказывала электронный вклад в молярную теплоѐмкость 3 2 R . Однако,

из эксперимента следует, что этот вклад в теплоѐмкость металлов оказывается ничтожно малым. Перечисленные недостатки удалось преодолеть только в квантовомеханической теории электропроводности.