Обработка результатов измерений в физическом практикуме измерения и погрешности измерений. Обработка и анализ результатов измерений Обработка результатов измерений случайная погрешность

Оценка достоверности результатов измерений

Оценка достоверности результатов измерений

Еще по теме статьи:

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 2

Таблица 3

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:

x 1 , x 2 , x 3 , ... x n . (2)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Δx (3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

(4)

где Δx отклонение от величины истинного значения;

σ истинная среднеквадратичная ошибка;

σ 2 дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx 1 и Δx 2 (заштрихованная площадь на рис.16 ) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx 1 ,Δx 2) .

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

где n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

. (6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

σ = lim S. (7)
n → ∞

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

. (8)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = · t. (10)

где Δx абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2 .

Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Коэффициенты Стьюдента

n	Значения Р
n	0.6	0.8	0.95	0.99	0.999
2	1.376	3.078	12.706	63.657	636.61
3	1.061	1.886	4.303	9.925	31.598
4	0.978	1.638	3.182	5.841	12.941
5	0.941	1.533	2.776	4.604	8.610
6	0.920	1.476	2.571	4.032	6.859
7	0.906	1.440	2.447	3.707	5.959
8	0.896	1.415	2.365	3.499	5.405
9	0.889	1.397	2.306	3.355	5.041
10	0.883	1.383	2.262	3.250	4.781
11	0.879	1.372	2.228	3.169	4.587
12	0.876	1.363	2.201	3.106	4.437
13	0.873	1.356	2.179	3.055	4.318
14	0.870	1.350	2.160	3.012	4.221
15	0.868	1.345	2.145	2.977	4.140
16	0.866	1.341	2.131	2.947	4.073
17	0.865	1.337	2.120	2.921	4.015
18	0.863	1.333	2.110	2.898	3.965
19	0.862	1.330	2.101	2.878	3.922
20	0.861	1.328	2.093	2.861	3.883
21	0.860	1.325	2.086	2.845	3.850
22	0.859	1.323	2.080	2.831	3.819
23	0.858	1.321	2.074	2.819	3.792
24	0.858	1.319	2.069	2.807	3.767
25	0.857	1.318	2.064	2.797	3.745
26	0.856	1.316	2.060	2.787	3.725
27	0.856	1.315	2.056	2.779	3.707
28	0.855	1.314	2.052	2.771	3.690
29	0.855	1.313	2.048	2.763	3.674
30	0.854	1.311	2.045	2.756	3.659
31	0.854	1.310	2.042	2.750	3.646
40	0.851	1.303	2.021	2.704	3.551
60	0.848	1.296	2.000	2.660	3.460
120	0.845	1.289	1.980	2.617	3.373
∞	0.842	1.282	1.960	2.576	3.291

Необходимое число измерений для получения ошибки Δ с надежностью Р

Δ = Δx/σ	Значения Р
Δ = Δx/σ	0.5	0.7	0.9	0.95	0.99	0.999
1.0	2	3	5	7	11	17
0.5	3	6	13	18	31	50
0.4	4	8	19	27	46	74
0.3	6	13	32	46	78	127
0.2	13	29	70	99	171	277
0.1	47	169	273	387	668	1089

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

Результат каждого измерения запишите в таблицу.
Вычислите среднее значение из n измерений
Найдите погрешность отдельного измерения

В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет).

Случай 1. Число измерений меньше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат x , определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.

2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность

4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений

5) Записывают окончательный результат по следующей форме:

, при
.

Случай 2 . Число измерений свыше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат

2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения

4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).

5) Записывается окончательный результат по следующей форме

Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности
принимают половину цены деления шкалы прибора (инструмента). Эту величину иногда называют предельной или приборной погрешностью и обозначают
(для нониусных приборов и секундомера
равна точности прибора).

В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой.

Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала
, чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины не выйдет за пределы указанного, так называемого доверительного интервала.

Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория вероятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся.

Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например,
. Это именно тот случай, с которым мы часто встречаемся при выполнении лабораторных работ по физике. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение (закон) Стьюдента.

Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал
, соответствующий заданной доверительной вероятности или решить обратную задачу.

Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях.

Пусть, например, произведено равноточных (в одинаковых условиях) измерений некоторой физической величины и вычислено её среднее значение . Требуется найти доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности . Задача в общем виде решается так.

По формуле с учётом (7) вычисляют

Затем для заданных значений n и находят по таблице (табл. 2) величину . Искомое значение вычисляется на основе формулы

(16)

При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр. Искомое значение доверительной вероятности берётся из таблицы (табл. 3) для заданного числа и вычисленного параметра .

Таблица 2. Значение параметра при заданных числе опытов

и доверительной вероятности

Таблица 3 Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε

Случай 1. Число измерений меньше пяти.

x , определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.

2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность

4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений

5) Записывают окончательный результат по следующей форме:

Случай 2 . Число измерений свыше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат

2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения

4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).

5) Записывается окончательный результат по следующей форме

Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности принимают половину цены деления шкалы прибора (инструмента). Эту величину иногда называют предельной или приборной погрешностью и обозначают (для нониусных приборов и секундомера равна точности прибора).

Оценка достоверности результатов измерений

Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала , чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины не выйдет за пределы указанного, так называемого доверительного интервала.

Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например, . Это именно тот случай, с которым мы часто встречаемся при выполнении лабораторных работ по физике. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение (закон) Стьюдента.

Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности или решить обратную задачу.

По формуле с учётом (7) вычисляют

При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр . Искомое значение доверительной вероятности берётся из таблицы (табл. 3) для заданного числа и вычисленного параметра .

Таблица 2. Значение параметра при заданных числе опытов

и доверительной вероятности

n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0.98	0,99	0.995	0,999
	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	127,3	637,2
	0,816	1,061	1,336	1,886	2,91	4,30	6,96	9,92	14,1	31,6
	0,765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	7,5	12,94
	0,741	0,941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	5,6	8,61
	0,727	0,920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	4,77	6,86
	0.718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	4,32	5,96
	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	4,03	5,40
	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	3,83	5,04
	0,703	0,883	1,110	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	3,69	4,78

Таблица 3 Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε

n		2,5		3,5
	0,705	0,758	0,795	0,823
	0,816	0,870	0,905	0,928
	0,861	0,912	0,942	0,961
	0,884	0,933	0,960	0,975
б	0,898	0,946	0,970	0,983
	0,908	0,953	0,976	0,987
	0,914	0,959	0,980	0,990
	0,919	0.963	0,983	0,992
	0,923	0,969	0,985	0,993

Обработка результатов косвенных измерений

Очень редко содержание лабораторной работы или научного эксперимента сводится к получению результата прямого измерения. Большей частью искомая величина является функцией нескольких других величин.

Задача обработки опытов при косвенных измерениях заключается в том, чтобы на основании результатов прямых измерений некоторых величин (аргументов), связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью, вычислить наиболее вероятное значение искомой величины и оценить погрешность косвенных измерений.

Существует несколько способов обработки косвенных измерений. Рассмотрим следующие два способа.

Пусть по методу косвенных измерений определяется некоторая физическая величина.

Результаты прямых измерений ее аргументов х, у, z приведены в табл. 4.

Таблица 4

Номер опыта	x	y	z	…
				…
				…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
…	…	…	…	…
n				…

Первый способ обработки результатов заключается в следующем. С помощью расчетной (17) формулы вычисляют искомую величину по результатам каждого опыта

(17)

Описанный способ обработки результатов применим, в принципе, во всех без исключения случаях косвенных измерений. Однако наиболее целесообразно применять его тогда, когда число повторных измерений аргументов небольшое, а расчётная формула косвенно измеряемой величины сравнительно проста.

При втором способе обработки результатов опытов вначале вычисляют, используя результаты прямых измерений (табл. 4), средние арифметические значения каждого из аргументов, а также погрешности их измерения. Подставив , , ,... в расчетную формулу (17), определяют наиболее вероятное значение измеряемой величины

(17*)

и выполняют оценку результатов косвенных измерений величины.

Второй способ обработки результатов применим лишь к таким косвенным измерениям, при которых истинные значения аргументов от измерения к измерению остаются постоянными.

Погрешности косвенных измерений величины зависят от погрешностей прямых измерений её аргументов.

Если систематические погрешности измерений аргументов исключены, а случайные погрешности измерения этих аргументов не зависят друг от друга (некореллированы), то ошибка косвенного измерения величины определяется в общем случае по формуле:

, (18)

где , , - частные производные; , , – средние квадратические погрешности измерения аргументов , , , …

Относительная погрешность вычисляется по формуле

(19)

В ряде случаев значительно проще (с точки зрения обработки результатов измерений) вычислить вначале относительную погрешность , а затем, используя формулу (19), абсолютную погрешность результата косвенного измерения:

При этом формулы для вычисления относительной погрешности результата составляются в каждом отдельном случае в зависимости от того, каким образом искомая величина связана своими аргументами. Имеются таблицы формул относительных погрешностей для наиболее часто встречающихся видов (структуры) расчётных формул (табл. 5).

Таблица 5 Определение относительной погрешности , допускаемой при вычислении приближенной величины , зависящей от приближённой .

Характер связи главной величины с приближенными величинами	Формула для определения относительной погрешности
Сумма:
Разность:
Произведение:
Частное:
Степень:

Изучение нониусов

Измерение длины производится с помощью масштабных линеек. Для увеличения точности измерения пользуются вспомогательными подвижными шкалами - нониусами. Например, если масштабная линейка разделена на миллиметры, т. е. цена одного деления линейки 1 мм , то с помощью нониуса можно повысить точность измерении по ней до одной десятой или более мм .

Нониусы бывают линейными и круговыми. Разберем устройство линейного нониуса. На нониусе делений, которые в сумме равны 1 делению основной шкалы. Если - цена деления нониуса, - цена деления масштабной линейки, то можно написать

. (21)

Отношение называется точностью нониуса. Если, например, b =1 мм , a m =10, то точность нониуса 0,1 мм .

Из рис. 3 видно, что искомая длина тела равна:

где k - целое число делений масштабной линейки; - число делений миллиметра, которое необходимо определить с помощью нониуса.

Обозначим через п - число делений нониуса, совпадающее с любым делением масштабной линейки. Следовательно:

Таким образом, длина измеряемого тела равна целому числу k мм масштабной линейки плюс десятые доли числа миллиметров. Аналогично устроены и круговые нониусы.

Нижняя шкала наиболее распространенного микрометра представляет собой обычную миллиметровую шкалу (рис. 4).

Риски верхней шкалы сдвинуты по отношению к рискам нижней шкалы на 0,5 мм . При повороте микрометрического винта на 1 оборот барабан вместе со всем винтом передвигается на 0,5 мм , открывая или закрывая поочередно риски то верхней, то нижней шкалы. Шкала на барабане содержит 50 делений, таким образом, точность микрометра .

При отсчёте по микрометру необходимо учитывать целое число рисок верхней и нижней шкалы (умножая это число на 0,5 мм ) и номер деления барабана n , который в момент отсчёта совпадает с осью шкалы стебля D , умножая его на точность микрометра. Иными словами, числовое значение L длины измеряемого микрометром предмета находят по формуле:

(23)

Для того чтобы измерить длину предмета или диаметр отверстия штангенциркулем (рис. 3), следует поместить предмет между неподвижной и "подвижной ножками и или развести выступы по диаметру внутри измеряемого отверстия. Движение перемещающегося устройства штангенциркуля проводится без сильного нажима. Вычисление длины производят по формуле (23), снимая отсчёт по основной шкале и нониусу.

В микрометре для измерения длины предмет зажимают между упором и микрометрическим винтом (рис. 5), вращая последний только с помощью головки , до срабатывания трещотки.

3. Вычислите среднее значение диаметра , среднеквадратическое отклонение по формулам методики обработки результатов прямых измерений (случай 2).

4. Определите границу доверительного интервала для заданной доверительной вероятности (задается преподавателем) и числа опытов n .

Сравните приборную погрешность с доверительным интервалом. В окончательный результат запишите большее значение .

Задание 2 . Определение объема цилиндра с помощью микрометра и штангенциркуля.

1. Измерьте не менее 7 раз диаметр цилиндра микрометром, а высоту штангенциркулем. Результаты измерений запишите в таблицу (табл. 7).

Таблица 7

. (27)

Если они отличаются хотя бы на порядок, то берется наибольшая ошибка.

9. Окончательный результат запишите в виде:

. (28)

Примечание . При расчёте приборной ошибки по формуле (25) одновременно учитывается и ошибка, обусловленная округлением чисел, так как они подчиняются одному и тому же закону распределения.

Контрольные вопросы

1. Опишите известные Вам виды измерений.

2. Дайте определение систематической и случайной ошибкам. В чём состоит их основное различие?

3. Какие виды ошибок подчиняются равномерному распределению?

4. Опишите порядок обработки результатов прямых (косвенных) измерений.

5. Почему при измерении объема цилиндра Вам рекомендовалось диаметр измерять микрометром, а высоту - штангенциркулем?

6. Относительная ошибка измерения массы тела составляет 1%, а его скорости-2%. С какой относительной ошибкой можно по таким данным вычислить кинетическую энергию тела?

Лабораторная работа №2

Номер измерения

Оценка погрешностей результатов измерений

Погрешности измерений и их типы

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т. д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т. е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131.gif" width="85" height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение , характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т. д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т. д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т. п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52.gif" width="123" height="24 src=">используется формула

, (1)

где https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">, - частные производные функции по переменной https://pandia.ru/text/77/496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Частные производные по переменным d и h будут равны

Https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с имеет следующий вид

где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17">- среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">, а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ , используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

1) определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

2) выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=… (7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и результаты записываются в таблицу. Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то они как промахи отбрасываются, если после проверки не подтверждаются. Вычисляется среднее арифметическое из n одинаковых измерений. Оно принимается за наиболее вероятное значение измеряемой величины

Находятся абсолютные погрешности отдельных измерений Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений (Δх i)2 Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического

Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α=0,95. Находится коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см. табл.) Определяется случайная погрешность

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

Записывается окончательный результат в виде

С α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">, можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется , а затем определяется среднее арифметическое из всех значений yi

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений..gif" width="75" height="24">. В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y. Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

. (10)

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y. Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

а) Погрешности измерений.

Количественная сторона процессов и явлений в любом эксперименте изучается с помощью измерений, которые делятся на прямые и косвенные.

Прямым называется такое измерение, при котором значение, интересующее экспериментатора величины находятся непосредственно из отсчета по прибору.

Косвенное - это измерение, при котором значение величины находится как функция других величин. Например, сопротивление резистора определяют по напряжению и току (R=).

Измеренное значение х изм. некоторой физической величиных обычно отличается от ее истинного значениях ист.. Отклонение результата, полученного на опыте, от истинного значения, т.е. разностьх изм. –х ист. = ∆х – называется абсолютной ошибкой измерения, а
– относительной ошибкой (погрешностью) измерения. Погрешности или ошибки делятся на систематические, случайные и промахи.

Систематическими ошибками называются такие ошибки, величина и знак которых от опыта к опыту сохраняется или изменяется закономерно. Они искажают результат измерений в одну сторону – либо завышая, либо занижая его. Подобные ошибки вызываются постоянно действующими причинами, односторонне влияющие на результат измерений (неисправность или малая точность прибора).

Ошибки, величина и знак которых непредсказуемым образом изменяются от опыта к опыту, называются случайными. Такие ошибки возникают, например, при взвешивании из-за колебаний установки, неодинакового влияния трения, температуры, влажности и т.д. Случайные ошибки возникают и из-за несовершенства или дефекта органов чувств экспериментатора.

Случайные погрешности исключить опытным путем нельзя. Их влияние на результат измерения может быть оценено с помощью математических методов статистики (малые выборки).

Промахами или грубыми погрешностями называются погрешности, существенно превышающие систематические и случайные погрешности. Наблюдения, содержащие промахи отбрасываются как недостоверные.

б) Обработка результатов непосредственных измерений.

Для надежности оценки случайных погрешностей необходимо выполнить достаточно большое количество измерений п . Допустим, что в результате непосредственных измерений получены результатых 1 ,х 2 ,х 3 , …,х п . Наиболее вероятное значение определяется как среднее арифметическое, которое при большом числе измерений совпадает с истинным значением:
.

Затем определяют среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения:
.

При этом можно оценить наибольшую среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения: S наиб. = 3S.

Следующий этап заключается в определении средней квадратичной ошибки среднего арифметического:

Ширина доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины будет определяться поабсолютной погрешности среднего арифметического:
, гдеt α , n – так называемый коэффициент Стьюдента для числа наблюденийп и доверительной вероятности α (табличная величина). Обычно доверительная вероятность в условиях учебной лаборатории выбирается 0,95 или 95%. Это значит, что при многократном повторении опыта в одних и тех же условиях, ошибки, в 95 случаях из 100 не превысят значения
. Интервальной оценкой измеряемой величиныxбудет доверительный интервал
, в который попадает её истинное значение с заданной вероятностью α. Результат измерения записывается:
.

Эту запись можно понимать как неравенство:.

Относительная погрешность:
Е ≤ 5% в условиях учебной лаборатории.

в) Обработка результатов косвенных измерений.

Если величину у измеряют косвенным методом, т.е. она является функцией п независимых величинх 1 ,х 2 , …,х п : у =f(х 1 ,х 2 , …,х п ), а значит
. Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

где частные производные вычисляются для средних значений
вычисляется по формуле средней квадратичной ошибки для непосредственного измерения. Доверительная вероятность для всех погрешностей, связанных с аргументамих i функции у задается одинаковый (Р = 0,95), такой же она задается и для у. Абсолютная погрешность
среднего значенияопределяется по формуле:
. Тогда
или. Относительная погрешностьбудет равна Е =
≤5%.

№ измерения

5.4. Вычисление суммарной погрешности

Абсолютная погрешность

; .

5. Относительная погрешность, или точность измерений

; Е = 0,5%.

6. Запись окончательного результата

Окончательный результат для исследуемой величины записывается в виде

Примечание. В окончательной записи число разрядов результата и абсолютной погрешности должно быть одинаковым.

6. Графическое представление результатов измерений

Результаты физических измерений очень часто представляют в графической форме. Графики обладают рядом важных преимуществ и ценных свойств:

а) дают возможность определить вид функциональной зависимости и пределы, в которых она справедлива;

б) позволяют наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой;

в) при построении графика сглаживают скачки в ходе функции, возникающие за счет случайных ошибок;

г) дают возможность определять некоторые величины или проводить графическое дифференцирование , интегрирование, решение уравнения и др.

Графики, как правило, выполняются на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической, полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т. е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями x и у. При выборе начала координат следует руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась вся площадь чертежа (рис.2.).

На координатах осях графика указываются не только названия или символы величин, но и единицы их измерения. Масштаб по осям координат следует выбирать так, чтобы измеряемые точки располагались по всей площади листа. При этом масштаб должен быть простым, чтобы при нанесении точек на график не производить арифметических подсчетов в уме.

Экспериментальные точки на графике должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные при различных условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить разными цветами или разными значками. Если известна погрешность эксперимента, то вместо точки лучше изображать крест или прямоугольник, размеры которого по осям соответствуют этой погрешности. Не рекомендуется соединять экспериментальные точки между собой ломаной линией. Кривую на графике следует проводить плавно, следя за тем, чтобы экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой, как показано на рис.3.

При построении графиков помимо системы координат с равномерным масштабом применяют так называемые функциональные масштабы. Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при подборе к данному графику формулы для определения его параметров. Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб (рис.4).