Математические модели и их классификация. Математическое моделирование

Понятие модели и моделирования.

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой, иногда такая копия служит лишь только для того чтобы запомнить и при следующей встрече узнать нужное явление. Иногда построенная схема отражает какие - то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

Задача исследователя - предсказывать характер явления и ход процесса.

Иногда, бывает, что объект доступен, но эксперименты с ним дорогостоящи или привести к серьезным экологическим последствиям. Знания о таких процессах получают с помощью моделей.

Важный момент - сам характер науки предполагает изучение не одного конкретного явления, а широкого класса родственных явлений. Предполагает необходимость формулировки каких - то общих категорических утверждений, которые называются законами. Естественно, что при такой формулировке многими подробностями пренебрегают. Чтобы более четко выявить закономерность сознательно идут на огрубление, идеализацию, схематичность, то есть изучают не само явление, а более или менее точную ее копию или модель. Все законы- это законы о моделях, а поэтому нет ничего удивительного в том, что с течением времени некоторые научные теории признаются непригодными. Это не приводит к краху науки, поскольку одна модель заменилась другой более современной .

Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей - математические понятия. Они накапливались и совершенствовались в течении тысячелетий. Современная математика дает исключительно мощные и универсальные средства исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью. При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель.

Изучение математической модели всегда связанно с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Эти правила отражают связи между причинами и следствиями.

Построение математической модели - это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Построение модели - это процедура не формальная. Сильно зависит от исследователя, его опыта и вкуса, всегда опирается на определенный опытный материал. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и должна быть удобна для использования.

Математическое моделирование.

Классификация математических моделей.

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими .

Детерменированные модели- это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления.

Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление. По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими .

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.

Модели бывают дискретными и непрерывными , а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения.

Линейные модели - все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае.

Математическое моделирование.

Требования,п редъявляемые к моделям.

1. Универсальность - характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта.

1. Адекватность - способность отражать нужные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.
2. Точность - оценивается степенью совпадения значений характеристик реального объекта и значения этих характеристик полученных с помощью моделей.
3. Экономичность - определяется затратами ресурсов ЭВМ памяти и времени на ее реализацию и эксплуатацию.

Математическое моделирование.

Основные этапы моделирования.

1. Постановка задачи.

Определение цели анализа и пути ее достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На этом этапе требуется глубокое понимание существа поставленной задачи. Иногда, правильно поставить задачу не менее сложно чем ее решить. Постановка - процесс не формальный, общих правил нет.

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.

На этом этапе подбирается или разрабатывается подходящая теория. Если ее нет, устанавливаются причинно - следственные связи между переменными описывающими объект. Определяются входные и выходные данные, принимаются упрощающие предположения.

3. Формализация.

Заключается в выборе системы условных обозначений и с их помощью записывать отношения между составляющими объекта в виде математических выражений. Устанавливается класс задач, к которым может быть отнесена полученная математическая модель объекта. Значения некоторых параметров на этом этапе еще могут быть не конкретизированы.

4. Выбор метода решения.

На этом этапе устанавливаются окончательные параметры моделей с учетом условия функционирования объекта. Для полученной математической задачи выбирается какой - либо метод решения или разрабатывается специальный метод. При выборе метода учитываются знания пользователя, его предпочтения, а также предпочтения разработчика.

5. Реализация модели.

Разработав алгоритм, пишется программа, которая отлаживается, тестируется и получается решение нужной задачи.

6. Анализ полученной информации.

Сопоставляется полученное и предполагаемое решение, проводится контроль погрешности моделирования.

7. Проверка адекватности реальному объекту.

Результаты, полученные по модели сопоставляются либо с имеющейся об объекте информацией или проводится эксперимент и его результаты сопоставляются с расчётными.

Процесс моделирования является итеративным. В случае неудовлетворительных результатов этапов 6. или 7. осуществляется возврат к одному из ранних этапов, который мог привести к разработке неудачной модели. Этот этап и все последующие уточняются и такое уточнение модели происходит до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

1.1.2 2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

1.1.3 3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВСЕОБЩАЯ КОМПЬЮТЕРИЗАЦИЯ ИЛИ ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

Сейчас, когда в стране происходит чуть ли не всеобщая компьютеризация, от специалистов различных профессий приходится слышать высказывания: "Вот внедрим у себя ЭВМ, тогда все задачи сразу же будут решены". Эта точка зрения совершенно не верна, сами по себе ЭВМ без математических моделей тех или иных процессов ничего сделать не смогут и о всеобщей компьютеризации можно лишь мечтать.

В подтверждение вышесказанного попытаемся обосновать необходимость моделирования, в том числе математического, раскроем его преимущества в познании и преобразовании человеком внешнего мира, выявим существующие недостатки и пойдем… к имитационному моделированию, т.е. моделированию с использованием ЭВМ. Но все по порядку.

Прежде всего, ответим на вопрос: что такое модель?

Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные свойства.

Хорошо построенная модель доступнее для исследования – нежели реальный объект. Например, недопустимы эксперименты с экономикой страны в познавательных целях, здесь без модели не обойтись.

Резюмируя сказанное можно ответить на вопрос: для чего нужны модели? Для того, чтобы

• понять, как устроен объект (его структура, свойства, законы развития, взаимодействия с окружающим миром).
• научиться управлять объектом (процессом) и определять наилучшие стратегии
• прогнозировать последствия воздействия на объект.

Что положительного в любой модели? Она позволяет получить новые знания об объекте, но, к сожалению, в той или иной степени не полна.

Модель сформулированная на языке математики с использованием математических методов называется математической моделью.

Исходным пунктом ее построения обычно является некоторая задача, например экономическая. Широко распространены, как дескриптивные, так и оптимизационные математические, характеризующие различные экономические процессы и явления, например:

• распределение ресурсов
• рациональный раскрой
• транспортные перевозки
• укрупнение предприятий
• сетевое планирование.

Каким образом происходит построение математической модели?

• Во–первых , формулируется цель и предмет исследования.
• Во–вторых , выделяются наиболее важные характеристики, соответствующие данной цели.
• В–третьих, словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.
• Далее взаимосвязь формализуется.
• И производится расчет по математической модели и анализ полученного решения.

Используя данный алгоритм можно решить любую оптимизационную задачу, в том числе и многокритериальную, т.е. ту в которой преследуется не одна, а несколько целей, в том числе противоречивых.

Приведем пример. Теория массового обслуживания – проблема образования очередей. Нужно уравновесить два фактора – затраты на содержание обслуживающих устройств и затраты на пребывание в очереди. Построив формальное описание модели производят расчеты, используя аналитические и вычислительные методы. Если модель хороша, то ответы найденные с ее помощью адекватны моделирующей системе, если плоха, то подлежит улучшению и замене. Критерием адекватности служит практика.

Оптимизационные модели, в том числе многокритериальные, имеют общее свойство– из вестна цель(или несколько целей) для достижения которой часто приходится иметь дело со сложными системами, где речь идет не столько о решении оптимизационных задач, сколько об исследовании и прогнозировании состояний в зависимости от избираемых стратегий управления. И здесь мы сталкиваемся с трудностями реализации прежнего плана. Они состоят в следующем:

• сложная система содержит много связей между элементами
• реальная система подвергается влиянию случайных факторов, учет их аналитическим путем невозможен
• возможность сопоставления оригинала с моделью существует лишь в начале и после применения математического аппарата, т.к. промежуточные результаты могут не иметь аналогов в реальной системе.

В связи с перечисленными трудностями, возникающими при изучении сложных систем, практика потребовала более гибкий метод, и он появился – имитационное моделирование "Simujation modeling ".

Обычно под имитационной моделью понимается комплекс программ для ЭВМ, описывающий функционирование отдельных блоков систем и правил взаимодействия между ними. Использование случайных величин делает необходимым многократное проведение экспериментов с имитационной системой (на ЭВМ) и последующий статистический анализ полученных результатов. Весьма распространенным примером использования имитационных моделей является решение задачи массового обслуживания методом МОНТЕ–КАРЛО.

Таким образом, работа с имитационной системой представляет собой эксперимент, осуществляемый на ЭВМ. В чем же заключаются преимущества?

–Большая близость к реальной системе, чем у математических моделей;

–Блочный принцип дает возможность верифицировать каждый блок до его включения в общую систему;

–Использование зависимостей более сложного характера, не описываемых простыми математическими соотношениями.

Перечисленные достоинства определяют недостатки

–построить имитационную модель дольше, труднее и дороже;

–для работы с имитационной системой необходимо наличие подходящей по классу ЭВМ;

–взаимодействие пользователя и имитационной модели (интерфейс) должно быть не слишком сложным, удобным и хорошо известным;

–построение имитационной модели требует более глубокого изучения реального процесса, нежели математическое моделирование.

Встает вопрос: может ли имитационное моделирование заменить методы оптимизации? Нет, но удобно дополняет их. Имитационная модель – это программа, реализующая некоторый алгоритм, для оптимизации управления которым прежде решается оптимизационная задача.

Итак, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алгоритм для ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную задачу. Но вместе они представляют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в интересах человека.

1.2 Классификация моделей

1.2.1 Классификация с учетом фактора времени и области использования (Макарова Н.А.) Статическая модель - это как бы одномоментный срез информации по объекту (результат одного обследования) Динамическая модель-позволяет увидеть изменения объекта во времени(Карточка в поликлинике) Можно классифицировать модели и по тому, к какой области знаний они принадлежат (биологические,исторические , экологические и т.п.) Возврат в начало

1.2.2 Классификация по области использования (Макарова Н.А.) Учебные- наглядные пособия, тренажеры,о бучающие программы Опытные модели-уменьшенные копии (автомобиль в аэродинамической трубе) Научно-технические- синхрофазотрон , стенд для проверки электронной аппаратуры Игровые- экономические , спортивные, деловые игры Имитационные- не просто отражают реальность, но имитируют ее(на мышах испытываеется лекарство, в школах проводятся эксперементы и т.п. .Такой метод моделирования называется методом проб и ошибок Возврат в начало

1.2.3 Классификация по способу представления Макарова Н.А.) Материальные модели-иначе можно назвать предметными. Они воспринимают геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение Информационные модели-нельзя потрогать или увидеть. Они строятся только на информации.И нформационная модель совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Вербальная модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме. Знаковая модель-информационная модель выраженная знаками,т .е . средствами любого формального языка. Компьютерная модель -м одель, реализованная средствами программной среды.

1.2.4 Классификация моделей, приведенная в книге "Земля Информатика" (Гейн А.Г.)) "...вот нехитрая на первый взгляд задача: сколько потребуется времени, чтобы пересечь пустыню Каракумы? Ответ,разумеется зависит от способа передвижения. Если путешествоватьна верблюдах , то потребуется один срок, другой-если ехать на автомобиле, третий - если лететь самолетом. А самое главное - для планирования путешествия требуются разные модели. Для первого случая требуемую модель можно найти в мемуарах знаменитых исследователей пустынь: ведь здесь не обойтись без информации об оазисах и верблюжьих тропах. Во втором случае незаменимая информация, содержащаяся в атласе автомобильных дорог. В третьем - можно воспользоваться расписанием самолетных рейсов. Отличаются эти три модели - мемуары, атлас и расписание и характером предьявления информации. В первом случае модель представлена словесным описанием информации (описательная модель) , во втором- как бы фотографией с натуры (натурная модель) , в третьем - таблицей содержащей условные обозначения: время вылета и прилета, день недели, цена билета (так называемая знаковая модель) Впрочем это деление весьма условно- в мемуарах могут встретиться карты и схемы (элементы натурной модели), на картах имеются условные обозначения (элементы знаковой модели), в расписании приводится расшифровка условных обозначений (элементы описательной модели). Так что эта классификация моделей... на наш взгля малопродуктивна" На мой взгляд этот фрагмент демонстрирует общий для всех книг Гейна описательный (замечательный язык и стиль изложения) и как бы, сократовский стиль обучения (Все считают что это вот так. Я совершенно согласен с вами, но если приглядеться, то...). В таких книгах достаточно сложно найти четкую систему определений (она и не предполагается автором). В учебнике под редакцией Н.А. Макаровой демонстрируется другой подход - определения понятий четко выделены и несколько статичны.

1.2.5 Классификация моделей приведенная в пособии А.И.Бочкина Способов классификации необычно много.П риведем лишь некоторые, наиболее известные основания и признаки:дискретность и непрерывность,матричные и скалярные модели, статические и динамические модели, аналитические и информационные модели, предметные и образно-знаковые модели, масштабные и немасштабные... Каждый признак даетопределенное знание о свойствах и модели, и моделируемой реальности. Признак может служить подсказкой о способе выполненного или предстоящего моделирования. Дискретность и непрерывностьДискретность - характерный признак именно компьютерных моделей.В едь компьютер может находиться в конечном, хотя и очень большом количестве состояний. Поэтому даже если объект непрерывен (время), в модели он будет изменяться скачками. Можно считать непрерывность признаком моделей некомпьютерного типа. Случайность и детерминированность . Неопределенность, случайность изначально противостоит компьютерному миру: Запущенный вновь алгоритм должен повториться и дать те же результаты. Но для имитации случайных процессов используют датчики псевдослучайных чисел. Введение случайности в детерминированные задачи приводит к мощным и интересным моделям (Вычисление площади методом случайных бросаний). Матричность - скалярность . Наличие параметров у матричной модели говорит о ее большей сложности и, возможно, точности по сравнению со скалярной . Например, если не выделить в населении страны все возрастные группы, рассматривая его изменение как целое, получим скалярную модель (например модель Мальтуса), если выделить, - матричную (половозрастную). Именно матричная модель позволила объяснить колебания рождаемости после войны. Статичность динамичность . Эти свойства модели обычно предопределяются свойствами реального объекта. Здесь нет свободы выбора. Просто статическая модель может быть шагом к динамической , либо часть переменных модели может считаться пока неизменной. Например, спутник движется вокруг Земли, на его движение влияет Луна. Если считать Луну неподвижной за время оборота спутника, получим более простую модель. Аналитические модели . Описание процессов аналитически , формулами и уравнениями. Но при попытке построить график удобнее иметь таблицы значений функции и аргументов. Имитационные модели . Имитационные модели появились давно в виде масштабных копий кораблей, мостов и пр. появились давно, но в связи с компьютерами рассматриваются недавно. Зная как связаны элементы модели аналитически и логически, проще не решать систему неких соотношений и уравнений, а отобразить реальную систему в память компьютера, с учетом связей между элементами памяти. Информационные модели . Информационные модели принято противополагать математическим , точнее алгоритмическим. Здесь важно соотношение объемов данные/алгоритмы. Если данных больше или они важнее имеем информационную модель, иначе - математичеескую . Предметные модели . Это прежде всего детская модель - игрушка. Образно-знаковые модели . Это прежде всего модель в уме человека: образная , если преобладают графические образы, и знаковая , если больше слов или (и) чисел. Образно-знаковые модели строятся на компьютере. Масштабные модели . К масштабным моделям те из предметных или образных моделей, которые повторяют форму объекта (карта).

Для теории математического моделирования необходимо знать цель моделирования и представить в математическом виде объект моделирования. Слово «модель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Наиболее про­стым и наглядным примером моделирования являются гео­графические и топографические карты. Моделями являются структурные формулы в химии. Модель как средство позна­ния стоит между логическим мышлением и изучаемым про­цессом, явлением.

Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом В. Замещаемый объект называется ориги­налом, замещающий - моделью. Таким образом, модель - это заместитель оригинала. В зависимости от цели замеще­ния модель одного и того же оригинала может быть различ­ной. В науке и технике основной целью моделирования яв­ляется изучение оригинала при помощи более простой его модели. Замещение одного объекта другим имеет смысл только в случае их определенного сходства, аналогии.

Математическая модель является приближенным, выраженным в математических терминах, представлением объектов, концепций, систем или процессов. Объекты, кон­цепции, системы или процессы, подлежащие моделирова­нию, называют объектами моделирования (ОМ).

Все объекты и явления в большей или меньшей степени взаимосвязаны, но при моделировании пренебрегают боль­шинством взаимосвязей и объект моделирования рассматри­вают как отдельную систему. Если объект моделирования определен как отдельная система, то необходимо ввести принцип селективности, обеспечивающий выбор требуемых связей с внешней средой. Например, при моделировании электронных схем пренебрегают тепловым, акустическим, оптическим и механическим взаимодействием с внешней средой и рассматривают только электрические переменные. Принцип селективности вводит в систему ошибку, т. е. раз­ницу в поведении модели и объекта моделирования. Сле­дующим важным фактором моделирования является прин­цип причинности, связывающий в системе входные и вы­ходные переменные.

Для количественной оценки системы вводят понятие «состояния». Например, под состоянием электронной схемы понимают значения напряжений и токов в электронной схе­ме в данный момент времени.

При выводе математической модели аналитически чаще всего используются широко известные категории: законы, структуры и параметры.

Если какая-либо переменная величина у зависит от другой переменной х, то первая величина является функцией второй. Эта зависимость записывается в виде у = f(x) или у = у(х). В такой записи переменная х называется аргументом. Важной характеристикой функции является ее производная, процесс нахождения которой называется дифференцированием. Урав­нения, которые по математическим правилам связывают неиз­вестную функцию, ее производные и аргументы, называются дифференциальными. Процесс, обратный дифференцирова­нию, позволяющий по заданной производной найти саму фун­кцию, называется интегрированием.

Рассмотрим частный случай, когда функцией является путь, зависящий от аргумента - времени. Тогда производ­ная пути по времени - это скорость, а производная от ско­рости (или вторая производная от пути) - ускорение. Если йзвестна, например, скорость, то интегрированием находят путь, пройденный телом при движении за определенное вре­мя. Если известно только ускорение, то для нахождения пути операцию интегрирования производят дважды. При этом после вычисления первого интеграла становится изве­стной скорость.

Конечная цель создания математических моделей - установление функциональных зависимостей между пере­менными. Функциональная зависимость для каждой конк­ретной модели может принимать строго определенный вид. Когда моделируется устройство, на вход которого поступает сигнал х у а на выходе появляется сигнал у, то связь можно записать в виде таблицы. Для этого весь диапазон измене­ния входного и выходного сигналов разбивается на некото­рое число участков. Каждому участку диапазона изменения входного сигнала будет соответствовать определенный учас­ток диапазона изменения выходного сигнала. В сложных си­стемах, где имеется несколько входов и несколько выходов, аналитические зависимости выражаются системами диффе­ренциальных уравнений.

* Законы обычно формулируются для частных областей, Как, например, законы Кирхгофа, Ньютона. Применение этих законов к системе обычно фокусирует наше внимание на единственной области науки и техники. Используя зако­ны Кирхгофа и уравнения Максвелла для анализа электри­ческой системы, исследователь игнорирует другие (напри­мер, тепловые) процессы в системе.

Создание математической модели требует знания присут­ствующих в системе элементов и их взаимосвязей. Парамет­рами математической модели (ММ) являются входящие в системы уравнений различные коэффициенты. Эти ко­эффициенты вместе с уравнениями и граничными условия­ми образуют законченную ММ.

Любую математическую модель можно получить в результате: 1) прямого наблюдения явления, прямого его изучения и осмысливания (модели являются феноменоло­гическими); 2) некоторого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай из некоторой более общей модели (такие модели называются асимптотически­ми); 3) некоторого процесса индукции, когда новая модель является естественным обобщением элементарных моделей (такие модели называются составными, или моделями ан­самблей).

Все системы существуют во времени и в пространстве. Математически это значит, что время и три пространствен­ные переменные могут рассматриваться в качестве незави­симых переменных.

Существует много признаков классификации математи­ческих моделей по признаку использования тех или иных переменных в качестве независимых, представленных в не­прерывной или дискретной форме; ММ классифицируют следующим образом:

1) модели с распределенными параметрами (все независи­мые переменные берутся в непрерывной форме);

2) модели с сосредоточенными параметрами (все независи­мые пространственные переменные дискретные, а вре­менная переменная непрерывна);

3) модели с дискретными параметрами (все независимые переменные берутся в дискретной форме).

На рис. 3.10, а...ж показана примерная классификация моделей. Все модели можно разделить на вещественные и идеальные (рис. 3.10, а). В данной главе рассматриваются только идеальные модели, которые объективны по своему содержанию (отражая реальную действительность), но субъ­ективны по форме и не могут существовать вне ее. Идеаль­ные модели существуют лишь в познании людей и функцио­нируют по законам логики. К логическим моделям относят­ся различные знаковые модели. Существенным моментом создания любой знаковой модели является процедура фор­мализации (формулы, алфавит, системы счислений).

В настоящее время в ряде областей науки и техники по­нятие модели трактуется не в духе классической физики, как наглядная, например, механическая система, а в духе современного этапа познания как абстрактная логико-мате­матическая структура.

В современном моделировании наряду с возрастанием в познании роли абстрактно-логических моделей существует другая тенденция, связанная с широким применением ки­бернетических функционально-информационных моделей.

Своеобразие кибернетического моделирования состоит в том, что объективное сходство модели и моделируемого объ­екта касается только их функций, областей применения, связи с внешней средой. Основа информационного подхода к изучению кибернетических процессов - абстрагирование.

Рассмотрим модели, которые имеют место в САПР БИС: структурные, функциональные, геометрические, знаковые, мысленные, аналитические, численные и имитационные.

Структурные модели воспроизводят состав элементов объекта или системы, их расположение в пространстве и взаимосвязи, т. е. структуру системы. Структурные модели могут быть и вещественными (макеты), и идеальными (на- | пример, машиностроительные чертежи, топология печатной | платы и топология ИС).

Функциональные модели имитируют только способ пове­дения оригинала, его функциональную зависимость от внешней среды. Наиболее характерным примером служат модели, построенные на концепции «черного ящика».

В этих моделях удается воспроизвести функционирование £ оригинала, полностью отвлекаясь от его содержимого и структуры, связывая с помощью математического соотношения различные входные и выходные величины.

Рис. 3.10. Общая классификация моделей (а), а также моделей натурных (б), физических (в), вещественных математических (г), наглядных (д), знаковых (е), идеальных математических (ж)

Геометрические модели отражают только структуру объ­екта и имеют большое значение в связи с проектированием электронных систем. Эти модели, построенные на основе геометрического подобия, позволяют решать задачи, связан­ные с оптимальным размещением объектов, прокладкой трасс на печатных платах и интегральных схемах.

Знаковые модели представляют собой упорядоченную за­пись символов (знаков). Знаки взаимодействуют между со­бой не по физическим законам, а по правилам, установлен­ным в той или иной области знаний, или, как принято гово­рить, согласно природе знаков. Знаковые модели имеют в настоящее время чрезвычайно широкое распространение. Практически каждая область знаний - лингвистика, про­граммирование, электроника и многие другие - выработала свою символику для описания моделей. Таковыми являются программы, схемы и т. п.

Мысленные модели являются продуктом чувственного восприятия и деятельности абстрактного мышления. К мысленным моделям можно отнести известную планетар­ную модель атома Бора. Для передачи этих моделей их пред­ставляют в виде словесного или знакового описания, т. е. мысленные модели могут фиксироваться в виде различных знаковых систем.

Аналитические модели позволяют получить явные зави­симости необходимых величин от параметров и перемен­ных, характеризующих изучаемое явление. Аналитическое решение математического соотношения является обобщен­ным описанием объекта

Численные модели характеризуются тем, что значения необходимых величин можно получить в результате приме­нения соответствующих численных методов. Все численные методы позволяют получить только частную информацию относительно искомых величин, поскольку для своей реали­зации требуют задания конкретных значений всех парамет­ров, входящих в математическое соотношение. Для каждой искомой величины приходится по-своему преобразовывать математическую модель и применять соответствующую чис­ленную процедуру.

Имитационные модели реализуются на ЭВМ в виде мо­делирующих алгоритмов (программ), позволяющих вычис­лять значения выходных переменных и определять новое состояние, в которое переходит модель при заданных значе­ниях входных переменных, параметров и исходного состоя­ния модели. Имитационное моделирование в отличие от численного характеризуется независимостью моделирую­щего алгоритма от типа информации, которую необходимо получить в результате моделирования. Достаточно универ­сальной, гибкой и эффективной является математическая модель, которая представляется в абстрактной математиче­ской форме посредством переменных, параметров, уравне­ний и неравенств.

В ММ входят следующие элементы: переменные (зависи­мые и независимые); константы или фиксированные пара­метры (определяющие степень связи переменных между со­бой); математические выражения (уравнения или/и нера­венства, объединяющие между собой переменные и параметры); логические выражения (определяющие различ­ные ограничения в математической модели); информация (алфавитно-цифровая и графическая).

Математические модели классифицируют по следующим критериям: 1) поведению моделей во времени; 2) видам входной информации, параметров и выражений, составляю­щих математическую модель; 3) структуре математической модели; 4) типу используемого математического аппарата.

Применительно к интегральным схемам можно предло­жить следующую классификацию.

В зависимости от характера свойств интегральной схемы математические модели делятся на функциональные и струк­турные.

Функциональные модели отображают процессы функци­онирования объекта, эти модели имеют форму систем урав­нений.

При решении ряда задач проектирования широкое при­менение находят математические модели, отображающие только структурные свойства проектируемого объекта; та­кие структурные модели могут иметь форму матриц, гра­фов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственной связи в виде проводников и т. д. Структурные модели используют в том случае, когда задачи структурного синтеза удается формализовать и решать, абстрагируясь от особенности фи­зических процессов в объекте.

Рис. 3.11. Структурная модель инвертора = ит. д.)

По методу получения функциональные математические модели делятся на теоретические и формальные.

Теоретические модели получаются на основе изучения физических закономерностей, причем структура уравнений и параметры моделей имеют четкое физическое обоснование.

Формальные модели получаются при рассмотрении свойств реального объекта как черного ящика.

Теоретический подход позволяет получать более универ­сальные модели справедливые для различных режимов ра­боты и для широких диапазонов изменения внешних пара­метров.

Ряд признаков в классификации связан с особенностями уравнений, составляющих математическую модель; в зави­симости от линейности или нелинейности уравнений модели делят на линейные и нелинейные.

В зависимости от мощности множества значений пере­менных модели делят на непрерывные и дискретные (рис. 3.12).

В непрерывных моделях фигурирующая в них перемен­ная непрерывна или кусочно-непрерывна.

Переменные в дискретных моделях - дискретные вели­чины, множество которых счетно.

Рис. 3.12. Непрерывные и дискретные переменные

По форме связи между выходными, внутренними и внешними параметрами различают модели в виде систем уравнений и модели в виде явной зависимости выходных па­раметров от внутренних и внешних. Первые из них называ­ются алгоритмическими, а вторые - аналитическими.

В зависимости от того, учитывают ли уравнения модели инерционность процессов в объекте проектирования, разли­чают модели динамические и статические.

1. Экономико-математические модели классифицируются по разным основаниям.

По целевому назначению они делятся на:

Теоретико-аналитические – в исследованиях общих свойств и закономерностей;

Прикладные – при решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут быть использованы при исследовании разных сторон производства и его отдельных частей.

По исследуемым экономическим процессами содержательной проблематике экономико-математические модели делятся на:

Модели производства в целом и его подсистем – отраслей, регионов и т. д.;

Комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т. д.

В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на:

Функциональные;

Структурные;

Структурно-функциональные.

Применение в исследованиях на хозяйственном уровне структурных моделей обосновано взаимосвязью подсистем. Типичными в данном случае являются модели межотраслевых связей.

Функциональные модели широко применяются в сфере экономическогорегулирования. Типичными в данном случае являются модели поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Один и тот же объект может быть представлен в виде и структурной, и функциональной модели одновременно. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на хозяйственном уровне – функциональная.

2. Различия между моделями дескриптивными и нормативными выявляются при рассмотрении их структуры и характера использования.

Дескриптивные модели дают ответ на вопрос: «Как это происходит?» или «Как это вероятнее всего может дальше развиваться?», то есть объясняют наблюдаемые факты или прогнозируют вероятность каких-либо фактов.

Цель дескриптивного подхода – эмпирическое выявление различных зависимостей в экономике. Это могут быть установление статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучение вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменных условиях или без внешних воздействий и другие исследования. Примером здесь может быть модель покупательского спроса, построенная на основе обработки статистических данных.

Нормативные модели признаны ответить на вопрос: «Как это должно быть?», то есть предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером является модель оптимального планирования.

Экономико-математическая модель может быть и дескриптивной, и нормативной. Так, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода, и нормативна при расчете сбалансированных вариантов развития экономики.

3. Признаки дескриптивных и нормативных моделей сочетаются, если нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Так, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, отражающие поведение потребителей при изменении доходов.

Дескриптивный подход широко распространен в имитационном моделировании.

По характеру обнаружения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, включающие элементы случайности и неопределенности. Необходимо различать неопределенность, основанную на законе теории вероятности, и неопределенность, выходящую за рамки применения этого закона. Второй тип неопределенности вызывает большие проблемы при моделировании.

4. По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на:

Статические;

Динамические.

В статических моделях все закономерности экономики относятся к одному моменту или периоду времени.

Динамические модели характеризуют изменения во времени.

По длительности периода времени различаются модели краткосрочного(до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (5 лет и более) прогнозирования и планирования. Течение времени в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

Модели экономических явлений различаются по форме математических зависимостей.

Наиболее удобен для анализа и вычислений класс линейных моделей. Но существуют следующие зависимости в экономике, которые носят нелинейный характер:

Эффективность использования ресурсов при увеличении производства;

Изменение спроса и потребления населения при увеличении производства;

Изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т. п.

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые.

Модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную, поэтому абсолютно открытых моделей не существует. Исключительно редки модели, не включающие экзогенных переменных (закрытые), – их построение требует полного абстрагирования от «среды», то есть серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи.

В основном модели различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей хозяйственного уровня важно деление на. агрегированные и детализированные.

В зависимости от того, включают ли хозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственныеиточечные.

С ростом достижений экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых оснований для их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

Рассмотрим понятие: «Модели. Классификация моделей» с научной точки зрения.

Классификация

В настоящее время существует деление их на отдельные группы. В зависимости от целевого назначения подразумевается такая классификация экономико-математических моделей:

• теоретико-аналитические виды, связанные с исследованиями общих характеристик и закономерностей;
• прикладные модели, направленные на решение определенных экономических задач. К ним относят модели прогнозирования, экономического анализа, управления.

Классификация экономико-математических моделей связана и со сферой их практического применения.

В зависимости от содержательной проблематики, такие модели подразделяют на группы:

• производственные модели в целом;
• отдельные варианты для регионов, подсистем, отраслей;
• комплексы моделей потребления, производства, распределения и формирования трудовых ресурсов, доходов, финансовых связей.

Классификация моделей данных групп подразумевает выделение структурных, подсистем.

При проведении исследований на хозяйственном уровне структурных моделей объясняется взаимосвязью отдельных подсистем. В качестве распространенных вариантов можно выделить модели межотраслевых систем.

Функциональные варианты используются для экономического регулирования товарно-денежных отношений. Можно один и тот же объект представить в виде функциональной, структурной форм одновременно.

Применение в исследованиях на хозяйственном уровне структурных моделей обосновано взаимосвязью подсистем. Типичными в данном случае являются модели межотраслевых связей.

Функциональные модели широко применяются в сфере экономического регулирования. Типичными в данном случае являются модели поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений.

Отличия между моделями

Проанализируем разные модели. Классификация моделей, используемых в настоящее время в экономике, предполагает выделение нормативных и дескриптивных вариантов. Используя дескриптивные модели можно объяснить анализируемые факты, прогнозировать возможность существования определенных фактов.

Цель дескриптивного похода

Она предполагает эмпирическое выявление разных зависимостей в современной экономике. Например, устанавливаются статистические закономерности различных социальных групп, изучаются вероятные пути развития определенных процессов при постоянных условиях либо без внешних воздействий. На основе результатов, полученных в ходе социологического опроса, можно выстроить модель покупательского спроса.

Нормативные модели

С их помощью можно предположить целенаправленную деятельность. В качестве примера можно представить модель оптимального планирования.

Может быть и нормативной, и дескриптивной. Если модель применяется при проведении анализа пропорций ушедшего периода, она дескриптивна. При расчете с ее помощью оптимальных путей развития экономики она является нормативной.

Признаки моделей

Классификация моделей предполагает учет отдельных функций, которые помогают уточнять спорные моменты. Максимальное распространение дескриптивный подход нашел в имитационном моделировании.

В зависимости от характера обнаружения причинно-следственных связей существует классификация моделей на варианты, включающие отдельные элементы неопределенности и случайности, а также жестко детерминистские модели. Важно отличать неопределенность, которая базируется на теории вероятности, и неопределенность, выходящую за границы действия закона.

Деление моделей по способам отражения временного фактора

Предполагается классификация моделей по данному фактору на динамические и статические виды. Статические модели предполагают рассмотрение всех закономерностей в определенный промежуток времени. Динамические варианты характеризуются изменениями во времени. В зависимости от продолжительности применения допускается классификация моделей на следующие варианты:

• краткосрочные, длительность которых не превышает года;
• среднесрочные, рассчитанные на срок от года до пяти лет;
• долгосрочные, рассчитанные на срок более пяти лет.

В зависимости от специфики проекта, допускается внесение изменений в процессе использования модели.

По форме математических зависимостей

Основанием классификации моделей является форма математических зависимостей, выбранная для работы. В основном пользуются для проведения вычислений и анализа классом линейных моделей. Рассмотрим экономические виды моделей. Классификация моделей такого вида помогает изучать изменение потребления и спроса населения в случае роста их материальных доходов. Кроме того, с помощью анализируется изменения потребности населения в случае увеличения производства, оценивается эффективность применения ресурсов в конкретной ситуации.

В зависимости от соотношения эндогенных и экзогенных переменных, которые включаются в модель, применяется классификация моделей данных видов на закрытые и открытые системы.

Любая модель должна включать минимум одну эндогенную переменную, в связи с чем полностью открытые системы найти весьма проблематично. Модели, которые не включают экзогенных переменных (закрытые варианты) также практически не распространены. Для того чтобы создать подобный вариант, придется в полной мере абстрагироваться от среды, допустить серьезные огрубления реальной экономической системы, имеющей внешние связи.

По мере увеличения достижений математических и экономических исследований классификация моделей, систем, существенно усложняется. В настоящее время используются смешанные типы, а также сложные модельные конструкции. Единая классификация информационных моделей на данный момент не установлена. При этом можно отметить около десяти параметров, по которым происходит выстраивание типов моделей.

Типы моделей

Монографическая или словесная модель предполагает описание процесса или явления. Часто речь идет о правилах, законе, теореме либо совокупности нескольких параметров.

Графическая модель оформляется в виде чертежа, географической карты, рисунка. К примеру, взаимосвязь между потребительским спросом и стоимостью продукции можно представить с помощью координатных осей. График наглядно демонстрирует зависимость между двумя величинами.

Вещественные либо физические модели создают для объектов, которые пока в реальности не существуют.

Степень агрегирования объектов

Существует классификация информационных моделей по данному признаку на:

• локальные, с помощью которых осуществляется анализ и прогноз определенных показателей развития отрасли;
• на микроэкономические, предназначенные для серьезного анализа структуры производства;
• макроэкономические, базирующиеся на изучении хозяйства.

Есть и отдельная классификация моделей управления для макроэкономических видов. Они подразделяются на одно-, двух-, многосекторные варианты.

В зависимости от цели создания и использования различают следующие варианты:

• детерминированные, имеющие однозначно понятные результаты;
• стохастические, которые предполагают вероятностные итоги.

В современной экономике выделяют балансовые модели, в которых отражается требование соответствия базы ресурсов и их применения. Для их записи используют форму квадратных шахматных матриц.

Есть и эконометрические виды, для оценивания которых применяются методы математической статистики. На подобных моделях выражают развитие главных показателей создаваемой экономической системы посредством длительной тенденции (тренда). Они востребованы в анализе и прогнозировании определенных экономических ситуаций, связанных с реальной статистической информацией.

Оптимизационные модели дают возможность из множества альтернативных (возможных) вариантов выбрать оптимальный вариант производства, потребления либо распределения ресурсов. Применение ограниченных ресурсов в такой ситуации будет самым эффективным средством для получения поставленной цели.

Предполагают участие в проекте не только эксперта, но и специализированного программного обеспечения, ЭВМ. Создаваемая в итоге экспертная база данных предназначается для решения путем имитации деятельности человека одной или нескольких задач.

Сетевые модели представляют собой комплекс операций и событий, взаимосвязанных во времени. Чаще всего такая модель предназначается для осуществления работ в такой последовательности, чтобы добиться минимальных сроков выполнения проекта.

В зависимости от выбранного типа математического аппарата выделяют модели:

• матричные;
• корреляционно-регрессивные;
• сетевые;
• управления запасами;
• массового обслуживания.

Этапы экономико-математического моделирования

Данный процесс является целенаправленным, он подчиняется определенной логической программе действий. Среди основных этапов создания такой модели выделяют:

• постановку экономической проблемы и проведение ее качественного анализа;
• разработку математической модели;
• подготовку исходной информации;
• численное решение;
• проведение анализа полученных результатов, их использование.

При постановке экономической проблемы, необходимо четко сформулировать суть проблемы, отметить важные черты и параметры моделируемого объекта, проанализировать взаимосвязь отдельных элементов, чтобы объяснить развитие и поведение рассматриваемого объекта.

При разработке математической модели выявляется зависимость между уравнениями, неравенствами, функциями. Прежде всего определяют тип модели, анализируют возможность применения ее в конкретной задаче, формируется конкретный перечень параметров и переменных. При рассмотрении сложных объектов выстраивают разноаспектные модели, чтобы каждая характеризовала отдельные стороны объекта.

Заключение

В настоящее время не существует отдельное понятие модели. Классификация моделей является условной, но это не снижает их актуальности.

Признак классификации

Экономико-математические модели

Общее целевое назначение Степень агрегирования объектов моделирования Конкретное назначение Тип используемой в модели информации Фактор времени Фактор неопределенности Тип математического аппарата Тип подхода к изучаемым социально-экономическим системам

Теоретико-аналитические Прикладные Макроэкономические Микроэкономические Балансовые Трендовые Оптимизационные Имитационные Аналитические Идентифицируемые Статические Динамические Детерминированные Стохастические Матричные модели Модели линейного и нелинейного программиро­вания Корреляционно-регрессионные модели Модели теории массового обслуживания Модели сетевого планирования и управления Модели теории игр Дескриптивные Нормативные

Рассмотрим выделенные классификационные признаки подробнее.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении об­щих свойств и закономерностей экономических процессов, и приклад­ные, применяемые в решении конкретных экономических задач анали­за, прогнозирования и управления.

По степени агрегирования объектов моделирования модели делятся на макроэкономические и микроэкономические, хотя между ними и нет четкого разграничения. К первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как мик­роэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями эко­номики, как предприятия и фирмы.

По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и примене­ния, выделяют:

Балансовые модели, выражающие требование соответствия на­личия ресурсов и их использования;

Трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономи­ческой системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей;

Оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилуч­шего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления;

Имитационные модели, предназначенные для использования в про­цессе машинной имитации изучаемых систем или процессов, и др.

По типу информации, используемой в модели ; экономико-математи­ческие модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.

По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и ди­намические, описывающие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности модели делятся на детермини­рованные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от дей­ствия случайного фактора.

По типу математического аппарата, используемого в модели, т.е. по характеристике математических объектов, включенных в модель, могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нели­нейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирова­ния и управления, модели теории игр и т.д.

По типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам вы­деляют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получают модели, предназначенные для опи­сания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для про­гноза этих явлений. В качестве примера дескриптивных моделей мож­но привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а тем, как она должна быть устро­ена и как должна действовать согласно определенным критериям.

Проблемы моделирования. Как все средства и методы, модели науки управления в случае их применения могут привести к ошибкам. Эффек­тивность модели иногда снижается действием ряда потенциальных по­грешностей.

Недостоверные исходные допущения. Любая модель опирается на не­которые исходные допущения, или предпосылки. Это могут быть под­дающиеся оценке предпосылки, например то, что расходы на рабочую силу в следующие шесть месяцев составят 200 тыс. долл. Такие предпо­ложения можно объективно проверить и просчитать. Вероятность их точности будет высока. Некоторые предпосылки не поддаются оценке и не могут быть объективно проверены. Предположение о росте сбыта в будущем году на 10 % - пример допущения, не поддающегося провер­ке. Никто не знает наверняка, произойдет ли это действительно. По­скольку такие предпосылки - основа модели, точность последней за­висит от точности предпосылок. Модель нельзя использовать для прогнозирования, например, потребности в запасах, если неточны про­гнозы сбыта на предстоящий период.

В дополнение к допущениям по поводу компонентов модели руко­водитель формулирует предпосылки относительно взаимосвязей внут­ри нее. К примеру, модель, предназначенная помочь решить, сколько галлонов краски разных типов следует производить, должна, вероятно, включать допущение относительно зависимости между продажной це­ной и прибылью, а также стоимостью материалов и рабочей силы. Точ­ность модели зависит также от точности этих взаимосвязей.

Информационные ограничения. Основная причина недостоверности предпосылок и других затруднений - ограниченные возможности в получении нужной информации, которые влияют и на построение, и на использование моделей. Точность модели определяется точностью информации по проблеме. Если ситуация исключительно сложна, спе­циалист по науке управления может быть не в состоянии получить ин­формацию по всем релевантным факторам или встроить ее в модель. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но это может быть нереализуемо или непрактично.

Иногда при построении модели игнорируются существенные аспек­ты, поскольку они не поддаются измерению. Например, модель опре­деления эффективности новой технологии будет некорректной, если в нее встроена только информация о снижении издержек в соответствии с увеличением специализации. В общем, построение модели наиболее затруднительно в условиях неопределенности. Когда необходимая ин­формация настолько неопределенна, что ее трудно получить исходя из критерия объективности, руководителю, возможно, целесообразнее положиться на свой опыт, способность к суждению, интуицию и по­мощь консультантов.

Страх пользователей. Модель нельзя считать эффективной, если ею не пользуются. Основная причина неиспользования модели заключа­ется в том, что руководители, которым она предназначена, могут не вполне понимать получаемые с помощью модели результаты и потому боятся ее применять. Для борьбы с этим возможным страхом специали­стам по количественным методам анализа следует значительно больше времени уделять ознакомлению руководителей с возможностями и по­рядком использования моделей. Руководители должны быть подготов­лены к применению моделей, а высшему руководству следует подчер­кивать, насколько успех организации зависит от моделей и как они повышают способность руководителей эффективно планировать и кон­тролировать работу организации.

Слабое использование на практике. Согласно ряду исследований уро­вень методов моделирования в рамках науки управления превосходит уровень использования моделей. Как указывалось выше, одна из причин такого положения дел - страх. Другими причинами могут быть недоста­ток знаний и сопротивление переменам. Данная проблема подкрепляет желательность того, чтобы на стадии построения модели штабные спе­циалисты привлекали к этому пользователей. Когда люди имеют воз­можность обсудить и лучше понять вопрос, метод или предполагаемое изменение, их сопротивление обычно снижается.

Чрезмерная стоимость. Выгоды от использования модели, как и дру­гих методов управления, должны с избытком оправдывать ее стоимость. При установлении издержек на моделирование руководству следует учи­тывать затраты времени руководителей высшего и низшего уровней на построение модели и сбор информации, расходы, время на обучение, стоимость обработки и хранения информации.

Основные модели, используемые для разработки управленческих реше­ний. Существует огромное множество конкретных моделей, использу­емых для разработки управленческих решений. Их число также велико, как и число проблем, для разрешения которых они были разработаны .

В общем виде в составе экономико-математических моделей можно выделить следующие:

Модели линейного программирования;

Оптимальные экономико-математические модели (имитацион­ные модели, модели сетевого планирования и управления);

Модели анализа динамики экономических процессов;

Модели прогнозирования экономических процессов (трендовые мо­дели на основе кривых роста, адаптивные модели прогнозирования);

Балансовые модели;

Эконометрические модели;

Прочие прикладные модели экономических процессов (модель спроса и предложения, модели управления запасами, модели те­ории массового обслуживания, модели теории игр).

Рассмотрим подробнее некоторые из перечисленных моделей, наи­более часто использующиеся в практике управления.

Модели теории игр. Одна из важнейших переменных, от которой за­висит успех организации, - конкурентоспособность. Очевидно, спо­собность прогнозировать действия конкурентов означает преимуще­ство для любой организации. Теория игр - это метод моделирования воздействия принятого решения на конкурентов.

Теорию игр изначально разработали военные с тем, чтобы в страте­гии можно было учесть возможные действия противника. В бизнесе игровые модели используются для прогнозирования реакции конку­рентов на изменение цен, новые кампании поддержки сбыта, предло­жения дополнительного обслуживания, модификацию и освоение но­вой продукции. Если, например, с помощью теории игр руководство устанавливает, что при повышении цен конкуренты не сделают того же, оно, вероятно, должно отказаться от этого шага, чтобы не попасть в невыгодное положение в конкурентной борьбе.

Теория игр используется не так часто, как другие описываемые здесь модели, так как ситуации реального мира зачастую очень сложны и на­столько быстро изменяются, что невозможно точно спрогнозировать, как отреагируют конкуренты на изменение тактики фирмы. Тем не ме­нее теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные или факторы, могу­щие повлиять на ситуацию, и тем самым повышает эффективность ре­шения . Подробнее элементы теории игр рассмотрены в главе, посвященной разработке управленческих решений в условиях неопреде­ленности и риска.

Модели теории массового обслуживания используются для определе­ния оптимального числа каналов обслуживания по отношению к по­требности в них. К ситуациям, в которых модели теории массового об­служивания могут быть полезны, можно отнести ожидание клиентами банка свободного кассира, очередь грузовиков под разгрузку на склад. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным обра­зом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгруз­ки, они не смогут выполнить положенное количество ездок за день.

Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравнове­шивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: требует­ся больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сде­лать лишнюю поездку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).

Так, модели очередей снабжают руководство инструментом опреде­ления оптимального числа каналов обслуживания, которые необходи­мо иметь, чтобы в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества сбалансировать издержки .

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового об­служивания, в которых входящий поток требований простейший (пуас-соновский).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления P k (t) за время t равно k требований задается формулой

Важная характеристика систем массового обслуживания - время об­служивания требований в системе. Время обслуживания одного требо­вания - это, как правило, случайная величина и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, особенно в практических приложениях, получил экспоненци­альный закон распределения времени обслуживания. Функция распре­деления для этого закона имеет вид:

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит неко­торой величины t , определяется этой формулой, где (µ - параметр экс­поненциального закона распределения времени, необходимого для об­служивания требований в системе, т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания t об :

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных си­стем массового обслуживания с ожиданием, т.е. таких систем, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения ка­налов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет п обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно об­служивать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ.

Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше п требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслужи­вания.

Время обслуживания каждого требования t об - случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с па­раметром µ.

Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относят­ся системы, в которых поступающий поток требований возникает в са­мой системе и ограничен. Например, мастер, задача которого - налад­ка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требова­ний на накладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источ­ник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток тре­бований можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух ви­дов накладывают определенные условия на используемый математи­ческий аппарат. Расчет характеристик работы систем массового обслу­живания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний систем (так называемые формулы Эрланга).

Рассмотрим алгоритмы, предназначенные для расчета качества функ­ционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием.

При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показа­телей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заня­ты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очере­ди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр α = λ / µ. Заметим, что если α / п < 1, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: λ,-среднее число требований, поступающих за единицу време­ни; 1/ µ - среднее время обслуживания одним каналом одного требова­ния, тогда α = λ х 1 / µ - среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требо­вания. Поэтому условие α / п < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требова­ния. Важнейшие характеристики работы систем массового обслужива­ния:

1) вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

2) вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

3) вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

4) вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

5) среднее время ожидания требования в системе:

6) средняя длина очереди:

7) среднее число свободных от обслуживания каналов:

8) коэффициент простоя каналов:

9) среднее число занятых обслуживанием каналов:

10) коэффициент загрузки каналов:

При рассмотрении замкнутых систем массового обслуживания к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих тре­бований ограничен, т.е. в системе одновременно не может находиться больше т требований (т - число обслуживаемых объектов) .

Модели управления запасами используются для того, чтобы опреде­лить время размещения заказов на ресурсы и их количество, а также массу готовой продукции на складах. Любая организация должна под­держивать некоторый уровень запасов во избежание задержек на произ­водстве и в сбыте. Для больницы требуется поставка необходимого ко­личества лекарств, для производственной фирмы - сырья и деталей, а также определенный задел незавершенного производства и запас гото­вой продукции.

Цель данной модели - сведение к минимуму отрицательных по­следствий накопления запасов, которые выражаются в определенных издержках. Эти издержки бывают трех основных видов:

На размещение заказов;

На хранение;

Потери, связанные с недостаточным уровнем запасов.

Последние имеют место при исчерпании запасов. В этом случае про­дажа готовой продукции или предоставление обслуживания невозмож­но, кроме того, возникают потери от простоя производственных ли­ний, в частности в связи с необходимостью оплаты труда работников, хотя они не работают в данный момент.

Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запа­сов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем «бумажной работы». Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками - расходами на хране­ние, перегрузку, выплату процентов, затратами на страхование, потеря­ми от порчи, воровства и дополнительными налогами.

Кроме того, руководство должно учитывать возможность связыва­ния оборотных средств избыточными запасами, что препятствует вло­жению капитала в приносящие прибыль акции, облигации или банков­ские депозиты. Разработано несколько специфических моделей, помогающих руководству установить, когда и сколько материалов зака­зывать в запас, какой уровень незавершенного производства и запаса готовой продукции поддерживать .

В практической деятельности организации часто используются сле­дующие системы регулирования товарных запасов .

Система с фиксированным размером заказа - наиболее распростра­ненная система, в которой размер заказа на пополнение запасов - по­стоянная величина, а поставка очередной партии товара осуществляет­ся при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Регулирующие параметры системы с фиксированным размером заказа - это:

Точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при снижении до которого организуется заготовка очередной партии товара;

Размер заказа, т.е. величина партии поставки.

Данную систему часто называют «двухбункерной», так как запас хра­нится как бы в двух бункерах: в первом - для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой сле­дующего ближайшего заказа, а во втором -для удовлетворения спроса в течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара, т.е. во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа.

Система с фиксированной периодичностью заказа - заказы на оче­редную поставку товарного запаса повторяются через равные проме­жутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и определяется размер заказываемой партии. При этом запас пополня­ется каждый раз до определенного уровня, не превышающего макси­мальный запас. Таким образом, регулирующие параметры этой систе­мы - это:

Максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение;

Продолжительность периода повторения заказов.

Система с фиксированной периодичностью заказа эффективна, когда имеется возможность пополнять запас в различных размерах, причем затраты на оформление заказа любого размера невелики. Одним из до­стоинств этой системы можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систе­матический учет движения остатков. К недостаткам системы относится то, что она не исключает возможность нехватки товарных запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов и фиксированной периодичностью заказа - допустимый уровень запасов регламентирует­ся как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса устанавливается нижний уровень (точка заказа).

Если размер запаса снижается до нижнего уровня раньше наступле­ния фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеоче­редной заказ. В остальных случаях система функционирует как система с фиксированной периодичностью заказа. В данной системе имеется три регулирующих параметра:

Максимальный уровень запаса;

Нижний уровень запаса (точка заказа);

Длительность периода между заказами.

Первые два параметра постоянны, третий - частично переменный. Рассматриваемая система сложнее предыдущей, однако она позволяет исключить возможность нехватки товарного запаса. Недостаток систе­мы в том, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной пе­риодичности заказа, или (s, S)-стратегия управления запасами, - эту си­стему называют также (S-s)-стратегией, или системой «максимум-ми­нимум». Рассмотрим (s, S)-стратегию управления запасами более подробно. Это модификация предыдущей системы, но она устраняет недостаток предыдущей системы. В этой системе два регулирующих параметра:

Нижний (критический) уровень запаса s;

Верхний уровень запаса S.

Если через х обозначить величину запасов до принятия решения об их пополнении, через p - величину пополнения, а через у = х + р - величину запасов после пополнения, то (s, S)-стратегия управления за­пасами задается функцией

т.е. пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов боль­ше критического уровня s; если имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верх­него уровня S, так что величина пополнения равна p = S - x.

Саморегулирующиеся системы управления запасами. Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий их функционирования. На практике такое по­стоянство условий встречается редко, что вызвано изменениями по­требности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся усло­виям). Создаются системы с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминирован­ные) условия. В каждой такой системе в рамках соответствующей эконо­мико-математической модели управления запасами устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы. В качестве целевой функции в моделях управления запасами чаще всего используется минимум затрат, свя­занных с заготовкой и хранением запасов, а также потери от дефицита. К элементам целевой функции при построении саморегулирующихся систем управления запасами относятся:

Затраты, связанные с организацией заказа и его реализацией, на­чиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по дос­тавке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с орга­низацией заказов, не зависит от размера заказа, но зависит от количества этих заказов в год. Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от размера заказанной партии, причем расходы в расчете на единицу товара уменьшаются при увеличении разме­ра партии;

Затраты, связанные с хранением запаса. Часть издержек хране­ния носит суточный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая часть прямо зависит от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономи­ко-математических моделей управления запасами обычно пользу­ются удельной величиной издержек хранения, равной размеру издержек на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагают, что издержки хранения за календарный пе­риод прямо пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количе­ству заказов за этот период.

3) потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организа­ция несет материальную ответственность за неудовлетворение потреб­ности потребителей по причине отсутствия запасов . Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может нести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность де­фицита - это ожидаемая относительная частота случаев нехватки то­варной продукции в течение более или менее продолжительного ин­тервала времени. Иногда вероятность дефицита определяется как частное отделения числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней, например, в году.

Имитационное моделирование. Все описанные выше модели подра­зумевают применение имитации в широком смысле, поскольку все они - заменители реальности. Тем не менее как метод моделирования имитация конкретно обозначает процесс создания модели и ее экспе­риментальное применение для определения изменений реальной си­туации. Аэродинамическая труба - пример физически осязаемой ими-тационной модели, используемой для проверки характеристик разрабатываемых самолетов и автомобилей. Специалисты по производ­ству и финансам могут разработать модели, позволяющие имитировать ожидаемый прирост производительности и прибылей в результате при­менения новой технологии или изменения состава рабочей силы. Спе­циалист по маркетингу может создать модели для имитации ожидаемо­го объема сбыта в связи с изменением цен или рекламы продукции.

Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для мате­матических методов типа линейного программирования. Это может быть связано с чрезмерно большим числом переменных, трудностью мате­матического анализа определенных зависимостей между переменными или высоким уровнем неопределенности.

Итак, имитация - это часто весьма практичный способ подстанов­ки модели на место реальной системы или натурного прототипа. Экс­периментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в случае если отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности. Если ре­зультаты экспериментирования с использованием имитационной мо­дели свидетельствуют о том, что модификация ведет к улучшению, ру­ководитель может с большей уверенностью принимать решение об осуществлении изменений в реальной системе.

Экономический анализ. Почти все руководители воспринимают ими-тацию как метод моделирования. Однако многие из них никогда не думали, что экономический анализ - очевидно, наиболее распростра­ненный метод - это тоже одна из форм построения модели. Экономи­ческий анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и эко­номических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Типичная экономическая модель основана на анализе безубыточности, методе принятия решений с определением точки, в которой общий доход уравнивается с суммарными издержками, т.е. точ­ки, в которой предприятие становится прибыльным.

Тонка безубыточности (break-even point - ВЕР) - ситуация, при ко­торой общий доход (total revenue - TR ) становится равным суммарным издержкам (total costs - ТС). Для определения ВЕР необходимо учесть три основных фактора:

Продажную цену единицы продукции (unit price - Р) - доход фирмы от продажи каждой единицы товаров или услуг. Изда­тельская компания, к примеру, получает 80 % от розничной це­ны книги. Таким образом, при продаже одной книги за 10 долл. Р составит 8 долл.;

Переменные издержки на единицу продукции (variable costs - VС) - фактические расходы, прямо относимые на изготовление каждой единицы продукции. Применительно к изготовлению книги это будут расходы на бумагу, обложку, услуги типографии, изготовление переплета и сбыт, а также выплата авторского гоно­рара. Естественно, совокупные переменные издержки растут с ростом объема производства;

Общие постоянные издержки на единицу продукции (total fixed costs - ТFС) - те издержки, которые, по меньшей мере, в ближай­шей перспективе, остаются неизменными независимо от объема производства. Основные составляющие совокупных постоянных издержек издательской компании - расходы на редактирование, оформление и набор. Кроме того, часть управленческих расхо­дов, расходы на страхование и налоги, аренду помещения и амор­тизационные отчисления переводятся в постоянные издержки в соответствии с формулой, установленной руководством. В нашем примере предположим, что постоянные издержки, связанные с производством книги, равны 200 тыс. долл.

Продажная цена за вычетом переменных издержек обозначает вклад в прибыль на единицу проданной продукции. При продажной цене книги 10 долл. и переменных издержках 6 долл. вклад составит 4 долл. Этот расчет позволяет руководству установить, сколько книг нужно про­дать, чтобы покрыть постоянные издержки в сумме 200 тыс. долл. Раз­делив 200 тыс. на 4, мы получим 50 тыс., т.е. именно столько книг необ­ходимо продать, чтобы проект был рентабельным. В форме уравнения безубыточность выражается следующим образом:

Используя формулу, мы получим на базе тех же данных те же резуль­таты, как и при простом подсчете:

P = 10 долл.;

VC = 6 долл.;

TFC = 200 000 долл.;

BEP = ТFС/(Р- VC) = 200 000/4 = 50 000 книг.

Вычисление точки безубыточности, будучи сравнительно простой операцией, дает значительный объем полезной информации. Соотно­ся величину ВЕР иоценку объема продажи, получаемую методами ана­лиза рынка, руководитель в состоянии сразу увидеть, будет ли проект прибыльным, как запланировано, и каков примерный уровень риска. Если анализ издательского рынка показал, что потенциал сбыта состав­ляет 80 000 экземпляров, это значит, что издание будет прибыльным и сопряжено с относительно малым риском. Намерение продать всего, к примеру, 35 000 книг было бы весьма рискованным.

Легко можно также установить, как влияет на прибыль изменение одной или большего числа переменных. Например, издатель увели­чивает Р с 1 до 11 долл., ВЕР должна снизиться до 40 000 книг, что должно произойти и при соответствующем изменении величины VC. Таким образом, анализ безубыточности помогает выявить альтерна­тивные подходы, которые были бы более привлекательными для фир­мы. Например, рынок сбыта научных книг гораздо уже, чем, скажем, рынок учебников по вводным курсам, поэтому издатели вынуждены выплачивать менее высокие гонорары авторам научных книг и отказы­ваться от второго цвета при печати. Такой подход позволяет вдвое сни­зить общие издержки по сравнению с учебниками по вводным курсам. Отметим, однако, что в результате внешний вид книги ухудшается, а это может заставить потенциальных потребителей обратиться к продукции конкурента, в результате чего сбыт упадет ниже точки безубы­точности.

Получив результаты по сбыту и данные по фактическим издержкам, руководство может вернуться к модели безубыточности для контрольной оценки. Если фактические значения постоянных и переменных издер­жек превышают те, что использованы для расчета точки безубыточно­сти, это свидетельствует о необходимости корректирующих действий. Зачастую эти действия должны сводиться к новому анализу основы рас­чета. Как любые другие прогнозы и планы, те, что использованы в ана­лизе безубыточности, могут быть ошибочными, и зачастую по причи­нам, не находящимся под контролем руководителя. К примеру, в начале 1970-х гг. многие издатели столкнулись с уменьшением прибыли в силу внезапного скачка цен на бумагу, который невозможно было полностью переложить на потребителей.

Объем производства, обеспечивающий безубыточность, можно рас­считать почти по каждому виду продукции или услуге, если соответ­ствующие издержки удается определить.

Другие модели экономического анализа применяются для определе­ния прибыли относительно инвестированного капитала, определения величины чистой прибыли, которую имеет в данный период фирма, и дивидендов на одну акцию внутри фирмы. Эти модели рассматриваются в курсах по финансам и бухгалтерскому учету .

Оптимальное линейное программирование. Необходимое условие оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оп­тимальности) - гибкость, альтернативность производственно-хозяй­ственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать плано­во-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, марш­рутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение = (x 1 ,x 2 ,…,x n), где x j , (j = ) - его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хо­зяйствующего субъекта.

Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого кри­терия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, по­зволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управлен­ческих решений. Традиционные критерии оптимальности - «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др.

Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-уп­равленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор осуществляется из некоторой области возможных (допусти­мых) решений D ; эту область называют также областью определения задачи.

Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности - значит решить экстремальную задачу вида:

где- математическая запись критерия оптимальности - целе­вая функция. Задачу условной оптимизации обычно записывают таким образом: _

Найти максимум или минимум функции f = f (x 1 ,x 2 ,..., х п) при ограничениях:

Последнее условие необязательно, но его при необходимости всегда можно добиться. Обозначение {≤, =, ≥} говорит о том, что в конкрет­ном ограничении возможен один из знаков: ≤, =, ≥. Используется бо­лее компактная запись:

Такова общая задача оптимального (математического) программи­рования, т.е. математическая модель задачи оптимального программи­рования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.

Вектор (набор управляющих переменных x j , j = называет­ся допустимым решением, или планом задачи оптимального йрограм-мирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план (допустимое решение), который составляет максимум или минимум целевой функции f (x 1 ,x 2 ,..., х п) называется оптимальным планом (оп­тимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования .

Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с пози­ций системности и оптимальности экономико-математического моде­лирования и решением задачи оптимального программирования.

IDEF-технологии моделирования . Своим появлением семейство стан­дартов IDEF (Integrated Defenition - интегрированное определение) во многом обязано появившейся в 1980-х гг. технологии автоматизации разработки информационных систем CASE (Computer Aided Software Engineering). До настоящего времени эта технология с успехом приме­няется при разработке разнообразного программного обеспечения. Однако в последнее время CASE-технологии приобретают все большее распространение для моделирования и анализа деятельности предпри­ятий, предоставляя богатый набор возможностей для оптимизации, или, в терминах CASE, реинжиниринга, технологических процедур, выполняемых этими предприятиями, - бизнес-процессов.

IDEF0, ранее известный как технология структурированного анали­за и разработки SADT (Structured Analysis Design Technique - техно­логия структурного анализа и моделирования), был разработан компа­нией «SofTech, Inc.» в конце 1960-х гг. и представлял собой набор рекомендаций по построению сложных систем, которые предполагали взаимодействие механизмов и обслуживающего персонала. Подход SADT относится к классу формальных методов, используемых при ана­лизе и разработке систем .

В настоящее время используются методики функционального, ин­формационного и поведенческого моделирования и проектирования, в которые входят IDEF-модели, приведенные в табл. 3.4.

Удобные средства визуального представления информации, описан­ные в стандартах семейства IDEF, могут применяться как для описания деятельности произвольной компании, так и для принятия обоснован­ных решений в сфере реинжиниринга бизнес-процессов - оптимиза­ции функционирования компании на рынке.